注重错题教学 培养反思能力

  陈  永  

文章已被中学数学杂志社录用；中学数学杂志投稿网址链接：http://www.zazhi114.cn/zhongxueshuxue

摘要：通过调查，进一步了解初中数学错题产生的原因，制定减错的教学策略。结合教学实践，从发展核心素养的角度，谈谈有益的教学尝试和思考，以提升学生的反思能力，提高数学思维水平，培养科学精神，促进自主学习。

关键词：初中数学    错题教学    反思

  1  调查结果及分析

去年,我在八年级做过关于数学解题出错、解题成功的原因及对待错题的态度的抽样调查，调查结果是：做题出错主要原因中，基本解题方法掌握不牢固占一半，有关概念理解不到位、缺少解题的主要步骤均占到30%左右，解题成功应具备的心理素质排在前两位的为注意力集中和态度端正；在解题成功应具备的数学素质中，选择注重检查反思最多，其后分别是认真审题、仔细演算。对待错题的态度：100%的学生选择偶尔纠正，改错不积极。非常重视错题并能及时订正的学生为0！

    在数学解题中出现错误既有心理方面的因素如注意力不够集中，遇到难题意志力不够坚强;更有认知方面的原因如不重视回顾反思、解题方法单一、基本知识技能掌握不牢固等。从学生对待错题的态度看出：学生反思的意识淡薄，改错也基本是被动的.故有些学生一错再错，改错仍出错！

    波利亚认为：中学数学的首要任务就在于加强解题能力地训练，掌握数学就意味着解题。引导学生认真对待错题，积极主动地反思，培养学生的批判性思维，减少错题的产生，真正学会学习，笔者探索了有益的做法,进行了深入地思考。

  2  教学实践

    2.1 培养审题能力，把好解题成功的第一关。

    审题不清，造成题意理解错误，解题方法不当，步骤不全。它是出现错题的“元凶”。如何引导学生审题？可分成四步走：其一是标记关键字词，其二转化数学语言，其三挖掘隐含信息，其四是联想有关知识^[1]。我认为审清题意，重在分析数量关系或图形特征，抓住问题“题眼”，题眼是某些条件或解法的关键点，它可以是外显的如关键词句，符号，图形；也可以是内隐的知识点或解题方法。

案例1：某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售且当天都能销售完。直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤（不计损耗），已知基地雇佣20名工人，每名工人只能做采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤，设安排X名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓。若基地一天的总销售收入为Y元，求Y与X的函数关系式。

审题简析：总销售收入包括加工收入和直接销售收入。X名工人采摘量为70X斤，（20－X）名工人加工销售量为35（20－X）斤，剩下的蓝莓则是直接销售，其数量为[70X－35（20－X）]斤，再据两类销售的单价，列出函数关系式为Y＝40[70X－35（20－X）]+130×35（20－X）＝-350X+63000。故本题的题眼是：表示出加工销售量及直接销售量。当题目涉及的数量关系或图形较为复杂时，要引导学生梳理出关系式分解出基本图形，再通过分析问题结论所需要的等量关系或图形的判定及性质，得出解决问题的方法及步骤。注重多角度分析，找准题眼，积累解题经验，培养良好的题感是解题成功的基石。

2.2 夯实认知基础，是减少错题的根本途径。

    审题时良好的题感是建立在学生丰富的认知基础之上的，学生的认知结构包括概念、公式，定理及基本解法步骤等。易混淆的概念要组织学生辨析，抓住概念的本质，弄清概念的区别及联系。

案例2:关于x的方程mx²－2x+3＝0有实数根,求m的取值范围。

学生在解题时，常常认为mx²－2x+3＝0是一元二次方程，直接由根的判别式△≧0得出m≤13。看似答案正确，其实出现两处错误:一是对一元二次方程的概念理解不到位，只有强调m≠0时它才是一元二次方程，另外，方程mx2-2x+3=0形式上看似一元二次方程，实际上当m=0时它是一元一次方程,此时方程仍有实根，故本题要理解方程的概念，还要注意解题中分类讨论思想的应用。

公式的结构特点，定理的条件与结论，基本方法及步骤，如若掌握不牢，都有可能成为错题的根源。

案例3:若关于x的方程x2-x+m=0有两个实数根且x1-x22<1,求m的取值范围。

利用韦达定理，学生往往漏掉隐含的条件△≧0，求值时，常常遗忘检验，造成错误。

    在初中数学思想方法教学中，分类讨论最易因讨论情况不全而出错。教学中应加强概念的分类及图形位置变化的教学，处理好特殊与一般的关系。

案例4:等腰三角形的边长均为方程x2-6x+8=0的根，则这三角形的周长为         。

    学生在解题时只考虑一般的等腰三角形，腰长为4，底边长为2。却忽略边长为4或2的等边三角形。

2.3掌握思维方法，是减少错题必备的核心素质。

    解题能力主要成分有：运算能力，逻辑推理能力，空间想象能力。核心是能否掌握正确的思维方法包括逻辑思维与非逻辑思维^[2]。其基本要求中包括掌握各种常用的思维方法如观察、试验、归纳、类比、抽象等，掌握解题的基本策略，能选择对口的解题思路，使用有效的解题方法，调动精明的解题技巧。教学中应引导学生反思解题的思维方法是否有问题，解题思路是否正确简洁，在解决方法多样的问题中，多数学生缺乏思维的广阔性，灵活性，容易陷于思维定式，产生错误。

案例5:如图1：在    ABCD中，点E、F分别在AD、BC上且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF

                            （图1）

多数学生运用△DOE≌△BOF，证得结论，但在推理时，有学生直接把O点当作BD的中点出现错误；极少数学生利用平行四边形的判定及性质轻松得到OE＝OF，（应连结BE，DF）显然后一种解题策略要优于全等法。几何教学中应加强训练多种证明方法，避免方法单一，突破认识封闭，简洁的解题方法可以避开繁杂的步骤，减少解题失误。

    学生几何推理不严谨，往往含有“想当然”的成分。常常 “眼见为实”，用几何直观替代逻辑推理。要告诫学生，图形不是推理的唯一。当然也要让学生明白合情推理的重要性，因为它可以让我们发现规律，猜想出结论，找到解决问题的方向。解题教学中，选择具有高阶思维的典型例题加强分析，共同探究数学问题解决的基本规律，努力帮助学生学会“数学地思维”，积累基本解题经验，学科核心素养提高了，错题就会慢慢的消失了。

2.4控制不良情绪，是减少错题的心理保障。

    波利亚说过：教学生解题是意志的教育，决心与情绪所起的作用很重要。教学中，要创设良好的问题情境，以吸引学生的注意力，激发思考的兴趣。当学生做题出现烦躁情绪时，教师要掌握调节学生情绪的技巧，及时疏导； 当学生出现畏难情绪时，要帮助学生消除做题恐惧的心理。对于复杂问题要多鼓励，多示范。比如在用一元二次方程解决有关利润问题时，列出的方程系数往往过大，学生就是用求根公式法求解时，多数心里没底，不敢完整地求解下去。这时教师应积极引导，要让学生相信，答案往往较简，用因式分解法求解十分灵验，关键要有将较大系数分解因数的信心！

2.5提供反思空间，培养勤于反思的习惯。

（1）发挥课堂析错，思错的主阵地作用。

    课堂中选择典型性的错题让学生分析，重在反思错误产生的根源，引导弥补程序性知识及策略性知识方面的漏洞，强调解决问题的方法，比如在几何证明中启发学生既要反思用分析法寻找条件，打通思路时存在的不足，又要反思用综合法书写步骤的是否注意逻辑性和完整性，学生板演时要充分利用学生的错题资源，从解题策略到基本步骤，从通法到特解，从数学抽象到运算能力，所有已出现或可能出现的错误都要剖析到位。当学生作业出现错题时，代表性错误或思维性错误一定要在课堂上集体纠错，共同防微杜渐，避免因小失大。

（2）强化课外拾错,改错的主渠道作用。

   学习优秀生通常都重视错题的反思。有了改错本，便于经常回顾，将错误认识或思维缺陷，集中反思，更易于学生了解自主学习中出现的问题，进一步看清问题的本质，积累解题反面经验，整体上提高解题能力。故笔者课外经常检查学生的改错本，督促学生每周整理反思错题，及时纠错，并给予鼓励性评价，激励改错的决心。

    另外，在学习一章后，我在布置自主复习作业时，一定要求学生列举自己在平时作业中的典型错题或可能出错的问题，让同伴改错。实践证明，这种做法利于较大面积提高勤于反思的意识，培养质疑批判精神，促进共同发展。

 3 教学思考

3.1树立正确的错题观。

较长一段时间内，对待学生的错误，总认为是自己教学预设不到位，了解学生不充分。其实学生出现错题是认识发展的一个阶段，教师要理解学生出错。著名特级教师华应龙说过：我们要给学生出错的机会，正确的可能只是模仿，错误的可能是创新。而我们该做的不是埋怨学生笨，而是如何将这些错题看成一种生成资源利用起来，挖掘错题背后自身教学中存在的不足及学生出错的根源，充分重视错题教学，并将引导学生不断反思，提升反思能力作为一种教学常态。

3.2认识培养学生反思能力的重要性。

反思能力是建构主义学习的一个核心特征。数学学习过程不是对新信息的直接吸收和理解，而是新旧知识之间的相互作用，在这种作用中包含了主体对知识客观的选择，分析和批判。在合作学习中，教师引导学生进行合理的反思，培养总结能力尤为重要^[3]。解题中缺乏自觉领悟，没有对解题方法的再认识，学习体验就不会强烈，思维就会丧失深度，认知策略就很难形成，实践创新能力就无从谈起，就会阻碍发展核心素养。

3.3教学中应及时研究学生。

在一元二次方程解法教学中，原来按照先配方法再公式法最后因式分解法的顺序，学生受先入为主的影响，不管能否使用因式分解法解方程，首先想到的就是配方法，造成由于步骤不全或配方漏项或符号弄错等出错。在后来的教学中我改变教学解法顺序，先教因式分解法，后讲配方法及公式法，通过方法的对比，学生了解到因式分解法由于步骤较少，解题速度较快。在解方程时要灵活运用简便的解法。这样处理就大大减少了错题的发生。教师的教学策略会影响学生的解题策略，教师应加大对学生的认知规律及心理发展的深入的研究。从而更好地提高学生的解题能力。

参考文献

[1]杨碧荣:巧用“珍珠一项链法”，发展逻辑推理素养[J],《中学数学教学参考》2017年第11期,第35页

[2]罗增儒:《中学数学解题的理论及实践》[M]，南宁:广西教育出版社,2008年

[3]姚敬东: 《学生发展核心素养视域下的课堂教学指南》[M],长春:东北师范大学出版社  2017年