1 引言（Introduction）

工业机器人市场化程度越来越高，到目前为止，6自由度的工业机器人技术的发展和运用已经十分成熟，而具有7自由度的冗余机器人技术目前仍处于发展阶段。5求解7自由度逆运动学的方法十分有限且很难做到实时控制和精确计算^[1]。因此，研究求解7自由度机械臂逆解的有效算法已成为其运动学、动力学及实时控制领域研究的重点和基础。近年来国内外学者对冗余自由度机器人的运动学逆解的求解问题已经提出了一些方法，主要分为3类：（1）代数数值解法，如雅克比伪逆法^[2-4]、梯度投影法^[5-6]、广义雅可比法^[7]，加权最小范数法^[8-9]等，主要存在的问题是存在累积误差，无法做到精确控制；（2）迭代算法，如遗传算法^[10]、神经网络法^[11]等，主要存在的问题是计算量比较大，不利于在线实时控制；（3）几何参数法^[12-14]，求解比较复杂，通用性不好，但不存在累积误差。特别是其精度高、计算快、便于在线控制的特点，使其成为较之其他方法更优越的逆运动学方法。

参照人体手臂的结构特点和机器人逆运动学存在解析解的充分条件^[15]，本文基于机器人自运动流形^[16]，把七个自由度合理划分模块，同时引入“锚点”和“虚拟连杆”的概念,利用“锚点”和“虚拟连杆”的共同作用，实现了机械臂位姿的参数化。本方法避免了直接利用雅克比矩阵和有关可操作度优化原则下7自由度机器人逆解的繁琐计算，没有累积误差，便于实时控制。

2仿人机械臂的自由度配置及D-H参数（Dof configuration and D-H parameters of humanoid robot arm）

根据仿生学原理以及机器人逆运动学解析解存在的充分条件^[2]，单臂的7自由度配置如图1所示，其D-H参数如表1所示。

图1  7自由度机械臂关节零点位置及自由度配置

表1 零点位置关节D-H参数表

3仿人机械臂的正向运动学(Forward kinematic of humanoid robot arm）

为方便起见，本节给出仿人机械臂的正向运动学，如下：

相邻关节连杆的坐标系齐次矩阵^[2]：

  （1）

由此可得：

          （2）

      （3）

      （4）

      （5）

   （6）

=      （7）

=    （8）

式中：，；

于是，仿人机械臂的运动学正解为：

==（9）

式中，表示坐标系在坐标系下的齐次变换矩阵；表示末端执行器的法向矢量，表示末端执行器的滑动矢量，表示末端执行器的接近矢量，三者构成末端执行器的姿态矩阵；表示末端执行器的位置矢量，此即为末端执行器的位姿矩阵，其单位矢量分别是，，。

由于末端执行器和7坐标系固连，因此，在O₇中的齐次坐标为,所以，末端执行器在O₀中的位置坐标可以表示为。

4仿人机械臂的逆向运动学（Inverse kinematic of humanoid robot arm）

由于冗余自由度的存在，在机械臂末端执行器姿态确定的情况下存在自运动，因此，无法利用数值方法直接求解其运动学逆解。目前常采用位姿分解方式，即将姿态和位置进行分离：肩关节和肘关节的4个自由度用于位置控制，腕关节的3个自由度用于姿态控制，这样就使得7自由度逆运动学问题简化为两层少自由度的逆运动学问题，降低了问题的难度和计算量。此外，也有研究人员将某一关节角固定，使得7自由度机械臂退化成6自由度机械臂，可以计算出很精确的各关节角，这种方法不存在累积误差，得出的关节角是准确值；也有研究者二者兼顾之，能达到很高的精度。本文利用自由度模块化的思想把复杂的空间运动学转化为平面运动学，并利用“锚点”和“虚拟连杆”等概念进行了逆运动学求解，同时参照的二次优化目标，使得7自由度机械臂的姿态参数化。 

4.1自由度模块化

根据人体手臂自由度配置，得到如图2所示的横滚转动副串联而成的仿人机械臂。本文将此机械臂的简化模型分为4自由度的O-S-E模块和4自由度的E-W-M模块，仿人机械臂分为拥有O-S-E模块和E-W-M模块，各模块里面的构件均共面。由于S-E和E-W之间是平行于轴线的转动副，连杆S-E和连杆E-W的共面特性不会改变，进而把复杂的空间构型转化为平面构型。由于肘关节E连接两个模块，因此整个机械臂的自由度模块化可表示为图2所示，

设l₂和l₃分别代表SE和EW的长度，按照自运动流形分析，E点的轨迹是沿着轴SW的圆^[16]。此时建立E点轨迹圆的坐标系B-X_BY_BZ_B,其简化模型如图3所示。

图3 简化模型示意图

E点的轨迹圆可表示为：

 (10)

其中坐标系B的单位矢量：

；；

4.2基于“锚点”和“虚拟连杆”的关节位置求解

已知障碍物位置或者是虚拟障碍物位置的情况下,在障碍物的特征点上建立“锚点”，利用“虚拟连杆”约束整个运动链^[14]，“虚拟连杆”的两端为球副。锚点位置为障碍物上的特征点及关节,相应的“虚拟连杆”的长度为，整条运动链在自身的同时，还有一条支链,即使得7自由度机械臂的姿态参数化。这样，建立了参考坐标系与 “锚点”之间的联系，达到避障的二次目标。如图4所示：

图4 含虚拟连杆的冗余运动学模型

“锚点”的位置和“虚拟连杆”的约束方程分别为：              （11）             （12）

其中，是在没有锚点的情况下，关节的自运动空间。

肘关节E和特征点作为虚拟连杆的两端，假定其末端位姿为:

,

则根据           （13）

可得：

          （14）

其中，;

结合公式（12），即可确定肘关节E的位置。

4.3   ,  , 的求解

在末端位姿已知且0-X₀Y₀Z₀坐标系位置由机械臂本体决定的情况下，机械臂的 ,  , 的求解如图5所示。

图5  ,  , 示意图

由公式（12）和（14）确定E点位置，腕点坐标系W点在关节7坐标系的位置是，由矢量积可知：

   （15）

即 =-           （16）

由于S-E-W杆系也在同一平面内，假设连杆S-E的长度为，连杆E-W的长度为，，在中，根据余弦定理:

 (17)

  (18)

+  (19)

在计算时：,

其中,由可知：

      (20)

由矢量积公式可得：

    (21)

即：

=+（22）

4.4 ,,,,的求解：

由自由度模块化知识,可知关节R₁、R₂、R₃、R₄必是位置共面关节，如图6所示, 在模块O-S-E中的基座标系中求解为：

图6 关节角及自运动示意图

  如图6所示，由于关节E的位置由“锚点”和“虚拟连杆”已经确定，因此，

            （23）

式中表示双变量正切函数；，为E点在基坐标系0-X₀Y₀Z₀中的坐标。

由于：

             （24）

关节间距EW的长度是l₃,在肘点E坐标系中可知W点的坐标表示为：

                  （25）

腕点W在基坐标系中的坐标为，由(24)、(25)方程可知：

  （26）

于是：

 （27）同理，在模块E-W-M中求解、，在此不再敖述。

5. 仿真结果(Similation result)

仿真实验中，取7R机械臂的关节间距为=0.3m, ==0.2m,锚点坐标（0.4,0.8,0.4），按照方程（14）求解=（,,），使用MATLAB进行仿真。仿真完成的任务是7R机械臂末端执行器实现螺旋线的轨迹跟踪演示，如图7所示：

        （28）

图7 7R机械臂仿真实验

图8 7R机械臂各关节角度变化曲线

图9 仿真的螺旋线轨迹跟踪

各关节仿真结果如图8所示，从中可知各关节的角度变化平滑，没有突变，说明了本文所述方法的正确性，且每次运算只有一次迭代，因而快速有效。图9为仿真的螺旋线轨迹跟踪示意图，从中可以看出，目标位置和实际位置几乎完全重合，表明了本方法可以达到较高的精度，理论上不存在累积误差。

6. 结论

本文针对给定的7R自由度仿人机械臂的逆运动学进行了研究，给出了一种求解冗余自由度机械臂逆解的解析算法。主要工作和结论为：

（1）提出了“自由度模块化”的概念，把复杂的空间机构运动学相关问题转化为平面机构问题，从而大大降低了计算的复杂性。

（2）引入“锚点”和“虚拟连杆”的概念，得到方程，使得7R自由度机械臂的姿态参数化，建立了参考坐标系和“锚点”之间的联系，达到避障的二次目标。

（3）利用MATLAB对算法进行了仿真验算，仿真结果表明机械臂能够迅速、有效地到达目标位姿，并对预期轨迹进行跟踪，没有累积误差。

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137.

An analytical algorithm of inverse kinematics for manipulator with redundancy

WANG Pengcheng^[1] SHEN  Huiping^[1] MENG Qingmei^[1]  DENG Jianming ^[1]  LUO Minzhou^[2]  

(1.Shool of Mechanical Engineering, Changzhou University, Jiangsu  Changzhou  213016;

2.The Institution Of The Advanced Manufacture, Changzhou  213164)

Abstract: The solution of position is analyzed for the mechanical arm with 7 degrees of freedom in this article. Based on the complexity of space configuration and self-motion, 7 degrees of freedom will be modular and then the complex space configuration will be put into planar configurations. the concepts of “anchor point” and “imagine link” which make the posture parameterized are introduced. An analytical method for the inverse kinematics of the redundant robot is proposed with “anchor point” and “imagine link”.

Key words: redundant freedom ;mechanical arm; modular; inverse kinematics