[摘要]剩余定理长期以来被应用着，但并没有在理论上得到证实。要证实和更好地应用它，需要从事件的全答期、全答期的性质、事件全答期的推算规律、全答期的验证、验证小验法在事件双双否（质d）中的实用性、验证连续自然数列N（1～d2）是事件双否（质d）的全答期等方面进行探索。
    [关键词] 剩余定理；全答期；小验法；证实
 
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem），古称韩信点兵，是整数论里一个非常重要的法则，它是一个典型的余数问题，最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”的题目。这道“物不知数”的题目用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被３除余２，被５除余３，被７除余２，此数为多少。对于这类问题现我们可以用普遍的式子来表示就是如果某数分别被d1，d2，d3，……，dn除后得到对应的余数分别是r1，r2，r3，……，rn，现称题中d1，d2，d3，……，dn为定母，称r1，r2，r3，……，rn为定母余数。古代剩余实践中，如果定母余数是固定的某个值，为方便起见称这类问题为固定剩余事件。
定义1：某数分别被d1，d2，d3，……，dn除，得到相应的余数分别是r1，r2，r3，……，rn，现将这类问题称为肯定剩余事件，记作事件肯（d1，d2，d3，…，dn）。
定义2：某数分别被d1，d2，d3，……，dn除，得到相应的余数不是r1，r2，r3，……，rn。这类问题中，定母余数为否定的形式出现，现称其为否定剩余事件，记作事件否（d1，d2，d3，……，dn）。
定义3：某数分别被d1，d2，d3，……，dn除，得到相应的余数不是rd1和l1，r2和l2，r3和l3，……，rn和ln。这类问题中，定母余数不仅以否定的形式出现，且被两个值否定，现称其为双否定剩余事件，记作事件双否（d1，d2，d3，……，dn）。（当d1=2时，r1=l2）
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*作者简介：赵灯江（1955-），男，安徽省濉溪县韩村镇西赵口子村科研爱好者。研究方向：数论及其应用。
 
定义4：某数分别被质数2，3，5……，d除，得到相应的余数是r2，r3，r5，……，rn。这类问题中，定母余数是肯定的，定母是从2到d的所有质数，现称其为质数肯定剩余事件，记作事件肯（质d）。
定义5：某数分别被质数2，3，5……，d除，得到相应的余数不是r2，r3和l3，r5和l5，……，rd和ld。这类问题中，定母余数是双否定的，定母是从2到d的所有质数，现称其为质数双否定剩余事件，记作事件双否（质d）。
 
下面进行深入分析：
第一条     事件的全答期
1．事件总剩余情况：在剩余事件中，定母余数在取值范围内任意取定一个值时，则为该事件的一种情况，而定母余数在取值范围内所有可能发生的取值情况，则为该事件总剩余情况。
如，事件双否（3）中，定母余数r3和l3在0，1，2内任意取一个值，就是此事件的一种情况，而此事件总剩余可能为：r3=0，l3=0；r3=0，l3=1； r3=0，l3=2；r3=1，l3=1；r3=1，l3=2； r3=2，l3=2六种情况。
又如，事件双否（d）中，定母余数rd和ld取值发生，当rd和ld与ld和rd为同一种情况，并允许rd=ld发生取值，那么该事件的总剩余情况符合组合原理，其取值个数有+种。
2．事件全答期：事件可能发生的总剩余情况中的每一种情况，若从m到M 这段自然数中，都对应能找到相对应的被除数存在，那么这段自然数，就是该事件的全答期。记作：连续自然数列N（m～M）。（即a1=m,an=M,d=1）
如，事件肯（5）中，定母余数r5总剩余情况共5种，即r5=0，r5=1，r5=2，r5=3，r5=4，而任何一种取值，在1到5这段自然数中，都对应能找到相对应的被除数存在。那么连续自然数列N（1～5）是事件肯（5）的全答期。
又如，连续自然数列N（1～6）是事件肯（2，3）的全答期；连续自然数列N（1～30）是事件（2，3，5）的全答期。
 
第二条   全答期的性质
1．位移性：若连续自然数列N（m～M）是事件肯（d）的全答期，应有各种不同取值的rd存在于连续自然数列N（m～M）中，所以在连续自然数列N（m～M）中也有rd-x=rx的取值存在。当连续自然数列N（m～M）中的每项都加上x得连续自然数列N（m+x～M+x），由于在连续自然数列N（m～M）中rx存在，所以连续自然数列N（m+x～M+x）中得到rd也存在。即连续自然数列N（m～M）和连续自然数列N（m+x～M+x）都是事件肯（d）的全答期。这就是事件全答期所具有的位移性。
2.互质可乘性
例题：已知连续自然数列N（m～M）是事件肯（d）的全答期，当x与d互质时，求证等差自然数列N（mx～Mx）（公差d=x）也是事件肯（d）的全答期
证明：∵连续自然数列N（m～M）是事件肯（d）的全答期
∴在连续自然数列N（m～M）中有rd各种取值存在；
又∵定母余数rd的取值范围是1，2，3，……，d
∴在连续自然数列N（m～M）这段自然数中必存在着被d除1，余2，3，……，d（即余0）的数都有所存在。设x与d互质，并设x被d除余rx。那么若m1被d除余1，则m1x被d除余rx；m2被d除余2，则m2x被d除余2rx；m3被d除余3，则m3x被d除余3rx；……；md被d除余d，则mdx被d除余drx。可见在连续自然数列N（m～M）中有被d除，共存在有d种不同的余数，在等差自然数列N（mx～Mx）（公差d=x）中，也有被d除，共存在有d种不同的余数。
∴连续自然数列N（m～M）和等差自然数列N（mx～Mx）（公差d=x）都是事件肯（d）的全答期。
证毕
因此得出如下结论：若连续自然数列N（m～M）是某事件的全答期，且x与事件中所有定母互质，那么等差自然数列N（mx～Mx）（公差d=x）也是该事件的全答期。这就是事件全答期的互质可乘性。
 
              第三条 事件全答期的推算规律
例题：已知连续自然数列N（1～2）是事件肯（2）的全答期，求证连续自然数列N（1～30）是事件肯（2，3，5）的全答期。
证明：∵连续自然数列N（1～2）是事件肯（2）的全答期
又∵3与2互质
∴等差自然数列N（1×3～2×3）（d=3）也是事件肯（2）的全答期（互质可乘性）
等差自然数列N（3～6）（d=3）、等差自然数列N（4～7）（d=3）、等差自然数列N（5～8）（d=3）等都是事件肯（2）的全答期（位移性）
又∵等差自然数列N（3～6）（d=3）的数列中每项被3除都余0；
等差自然数列N（4～7）（d=3）的数列中每项被3除都余1；
等差自然数列N（5～8）（d=3）的数列中每项被3除都余2；
∵把等差自然数列N（3～6）（d=3）、等差自然数列N（4～7）（d=3）、等差自然数列N（5～8）（d=3）中的数连合起来即得连续自然数列N（3～8）就是事件肯（2，3）的全答期
∴连续自然数列N（1～6）是事件肯（2～3）的全答期。（位移性）
又∵5分别与2、3互质，由互质可乘性得知：
等差自然数列N（1×5～6×5）即等差自然数列N（5～30）（d=5）是事件肯（2～3）的全答期。
∴以下公差d=5的等差自然数列N（5～30）、（6～31）、（7～32）、（8～33）、（9～34）都是事件肯（2～3）的全答期
∵等差自然数列N（5～30）（d=5）每项被5除得到的余数是0、等差自然数列N（6～31）每项被5除得到的余数是1、等差自然数列N（7～32）（d=5）每项被5除得到的余数是2、等差自然数列N（8～33）（d=5）每项被5除得到的余数是3、等差自然数列N（9～34）（d=5）每项被5除得到的余数是4
∴把以上等差自然数列中各项数连结起来是连续自然数列N（5～34）是事件肯（2，3，5）的全答期
∴连续自然数列N（1～30）也是事件肯（2，3，5）的全答期（位移性）
这样继续下去可以得到事件肯（质d）的全答期，这就是事件全答期的推算规律。
 
 
 
 
第四条  全答期的验证
 
如果已知某连续自然数列N（1～m）和某事件，想要确定该连续自然数列N（1～m）是不是某事件的全答期，就是要有一定的验证方法。
验证方法1：
譬如，已知连续自然数列N（1～30）和事件肯（2，3，5），验证连续自然数列N（1～30）是不是事件肯（2，3，5）的全答期。由乘法原理，或者根据事件全答期的组成分析：在连续自然数列N（1～30）中，第一步，即被2除余r2，因被2除余数有两种可能，肯定其中的一种等于否定另一种，所以在连续自然数列N（1～30）中被2除余r2有种做法；同理第二步被3除余r3，占有种做法；第三步被5除余r5，占有种做法，三件事做完达到目的，即30×××=1，这说明由验证1可知，事件肯（2，3，5）的r2、r3、r5所有取值在连续自然数列N（1～30）内至少可以找到1个答案存在，即连续自然数列N（1～30）是事件肯（2，3，5）的全答期。
又如，现欲验证连续自然数列N（1～60）是不是事件肯（2，3，5）的全答期。
验证方法1：验证60×××=2，说明事件肯（2，3，5）的这种情况在连续自然数列N（1～60）内可以找到2个答案存在，对于验证1来说，这种验证法根据全答期组成和乘法原理无疑是正确的，但它只能验证肯定剩余事件。
例如，现欲验证连续自然数列N（1～10）是不是事件双否（质5）的全答期，验证方法如下：验证10×××=1，实际上在连续自然数列N（1～10），找不到被2除余1，被3除不余1和2，被5除不余3和4的情况存在，所以连续自然数列N（1～10）不是事件双否（质5）的全答期。因此可见验证法1不适合这类问题。
验证方法2：在给定一段数连续自然数列N（1～m）中，事件每步运算都必须先减去其否定的数目，在进行分数运算，直到把事件中的每件要做的事情做完为止，再去整数部分为依据。
例如：给定连续自然数列N（1～10）是或者不是事件双否（质5）的全答期，用验证法2验证。即
（10-1）×=4.5；（4.5-2）×=；（-2）×﹤1，说明连续自然数列N（1～10）不一定是事件双否（质5）的全答期。
又例如：欲验证连续自然数列N（1～27）是不是事件双否（质5）的全答期，用验证法2。即（27-1）×=13；（13-2）×=；（-2）×=1，说明连续自然数列N（1～27）是事件双否（质5）的全答期。实际上连续自然数列N（1～18）就是事件双否（质5）的全答期。有验证法2可知连续自然数列N（1～27）中事件双否（质5）定母余数的各种取值情况至少存在1个。，实际上连续自然数列N（1～27）中事件双否（质5）定母余数的各种取值情况至少有2个答案存在，连续自然数列N（1～27）﹥连续自然数列N（1～18），所以把验证法2称为小验法。
 
第五条 验证小验法在事件双否（质d）中的实用性
 
现用数学归纳法证明小验法在事件双否（质d）中的实用性
第一步，预验证连续自然数列N（1～31）是不是事件双否（质5）的全答期，现用小验法验证。即（31-1）×=15；（15-2）×=；（-2）×=1.4，整数部分是1，因而连续自然数列N（1～31）是事件双否（质5）的全答期。实际上在连续自然数列N（1～31）中，事件双否（质5）各种情况都至少有3个答案存在，所以小验法验证的小于实际答案，即验证出事件的全答期正确。
第二步，设小验法验证事件双否（质k）小于实际答案，即小验法验证到xk小于实际答案数，事件双否（质k）所得到的全答期正确。
第三步，设仅比k大的质数为d，小验法验证连续自然数列N（1～m）是不是事件双否（质d）的全答期。即（m-1）×=x2，（x2-2）×=x3，（x3-2）×=x5，……，（xk-2）×=xd，可见由xk小于实际答案xd必小于实际答案。若xd﹤1则连续自然数列N（1～m）不一定是事件双否（质d）全答期，而xd≧1则连续自然数列N（1～m）一定是事件双否（质d）全答期，所以小验法在事件双否（质d）中实用。
 
第六条  验证连续自然数列N（1～d2）是事件双否（质d）的全答期
说明在事件双否（质d）中，定母是从2到d的所有质数，而质数的个数不知，这里把d之前的所有奇数和质数都当质数处理，由小验法得：
（d2-1）×=x2，（x2-2）×=x3，（x3-2）×=x5，……，（xd-2-2）×=xd，
综上式可得xd==1-﹤1，由于前面把所有奇数当质数处理，当d≧11时至少在运算中多乘一个（9不是质数），应该还原得xd=（1-）×，当d≧5时xd﹥1，所以当d≧11时，连续自然数列N（1～d2）是事件双否（质5）的全答期。
第七条   证实猜想
 
1.哥德巴赫猜想：每一个大于2的偶数都能表示为两个质数的和。如4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=7+3，……，100=97+3，……。
证明：设大偶数m=a+b，设d为仅小于的质数，取事件双否（质d）
连续自然数列N（1- d2）和连续自然数列N（2～d2+1）都是事件双否（质d）的全答期（位移性）
∴当事件双否（质d）中，定母余数r2，r3，r5，……，rd都取值为不余0，而l3，l5，……，ld都取值为不与m同余，这种情况在连续自然数列N（2～d2+1）中应有答案存在，设这个存在的答案为a 
∵r2，r3，r5，……，rd都取值为不余0，∴a必是质数
∵l3，l5，……，ld都取值为不与m同余，∴m-a=b，b也一定是质数，
∴m= a+b  a和b同时都可以是质数
即哥德巴赫猜想得到证实！
2.孪生质数猜想：两个质数以P和P+2的形式出现，也就是说相邻两个质数，如果他们的差值为2，这两个质数叫做孪生质数，如3和5，11和13等
随着自然数的增大，孪生质数出现的间隔也会增加，那么孪生质数是不是无限多的呢？
事实上孪生质数是无限多的！
证明：（反证法）
假设我们已经找到最大的孪生质数分别是p和p+2，并设p+2=d，取事件双否（质d）
∵连续自然数列N（1～d2）是事件双否（质d）的全答期
∴当事件双否（质d）中，定母余数r2，r3，r5，……，rd都取值为不余0，而l3，l5，……，ld都取值为不余其自身减去2的自然数，这种情况在连续自然数列N（1- d2）中有答案存在，设答案为a
∵r2，r3，r5，……，rd都取值为不余0  ∴a必是质数
又∵l3，l5，……，ld都取值为不余其自身减去2的自然数   ∴a+2必是质数
显然a不可能是质数2，3，5，……，d，而应该是比d还大的质数，因而有比p和p+2更大的孪生质数a和a+2，也就是说p和p+2不是最大的孪生质数，这与假设是矛盾的。
∴可得知：孪生质数是无限多的。
 
参考文献：
[1] 郭书春:《九章算术译注》，上海古籍出版社2009年版。
[2] 郭书春、李兆华、 卢嘉锡:《中国科学技术史·数学卷》，科学出版社2010年版。
[3] 吴义方、 吴卸耀:《数学文化趣谈》，上海大学出版社2005年版
[4] 张德馨:《整数论》，哈尔滨工业大学出版社2011年版。