1 引言

  起升机构作为桥式起重机最主要和最基本的机构，其零部件承受着强烈的冲击，其相互作用对运行状况安全性有重大影响，动力学特性解决的好坏将对起重机的整体性能起到关键的影响作用。

以往对起重机起升机构进行动力学分析及仿真设计时，需要建立起升机构的数学模型。目前有王晓波等^[1]对桥式起重机起升系统动力学模型及动载计算的研究，涉及钢丝绳柔性体的建模及仿真分析；原韶坤等^[2]对起重机卷扬系统进行建模，在深入分析起重机卷扬系统中卷筒受力情况的基础上，推导了卷扬系统的数学模型，并指出了系统状态方程的建立方法；孙首群等^[3]研究了港机机构与动态特性，分析了钢丝绳等关键部件及风载荷的动力学特性，构建了港机的虚拟样机模型，得到了港机工作过程中各主要部件的动力学数据。文献^[4]建立了码头集装箱起重机主起升机构的模型，分析其传动特性，建立了状态方程。对于起升机构的动态建模绝大多数局限于仿真分析，从实验论证数学模型的正确性较少。

  本文以桥式起重机起升机构为研究对象，通过建立起升机构传动系统的数学模型，最终求得工作阻力矩的响应表达式。建模的核心理念是基于电动机输出轴上的联轴器为弹性联轴器，存在弹性和阻尼。因此，数学模型的实质是机械振动模型，这样的研究方法有别于传统的强度设计理论。从动

相结合，将使起重机起升机构的设计方法更加完善。同时，构建的实验平台的设计目的是确定起吊重量，进一步为研究

·国家自然科学基金（No.51168020）及云南省应用基础研究(No.2013FZ024)资助项目。

··刘安.男，1989年1月生，湖南省岳阳人，汉族,昆明理工大学在读硕士研究生，主要从事于机械动力学分析与研究。通信地址：昆明理工大学呈贡校区机电工程学院。E-mail：liuanmike@sina.com

···何伟(通讯作者)，男，云南省昆明市人，汉族,副教授，硕士生导师．研究方向为从事机械设计、计算机辅助设计及制造

力学的角度来研究起重机起升机构，强度理论与动力学理论

无接触式称重传感器的设计提供了理论依据。

2 起升机构的动力学模型

2.1 起升机构动力学模型的基本假定

  在建模前，为方便模型的建立和求解，通常对模型进行适当的简化。此模型的建立主要基于如下几方面的简化：

   1)在建立数学模型的过程中忽略起重机结构的变形和振

动^[5]。

   2）起升机构和小车运行机构的全部驱动装置和电器设备

均装在小车车架上。

   3)在传动系统中各个环节如电机轴、工作机构轴都会发生微量形变，而且传动齿轮间存在间隙，这些因素都会使整个系统发生振动，但是它们对整个系统的状态影响很小，故可忽略^[6]。同时起升钢丝绳在起升过程中也会发生形变，导致吊重的振动，但为了简单起见，忽略钢丝绳的变形，认为从电机到起升卷筒以及吊重都是完全刚性的，即电机和起升卷筒的转速有固定的速比。

图1 起升机构布置图   

Fig.1 Hoisting mechanism arrangement

1.电动机；2.弹性联轴器；3.推杆制动器；4.减速器 5.刚性联轴器；6.卷筒；7.吊钩滑轮组；8.起吊重物

2.2 起升机构动力学模型及微分方程的建立

在建立基于振动理论的数学模型时，需要充分考虑起升机构的工作情况，对实际的机械模型进行适当的简化后如图1所示。在从电机到起吊重物的整个传动链中，导致系统发生扭转振动最主要的影响因素是弹性联轴器，其次为钢丝绳的变形^[7]。因此，把连接电动机输出轴和减速器高速轴的弹性联轴器作为建立数学模型的基础，忽略钢丝绳的变形，经过简化，建立起升机构的数学模型，求解得到工作阻力矩的表达式。

本模型的建立是基于电动机输出轴上的联轴器为弹性联轴器，存在弹性和阻尼^[8]，从而导致电动机转子和卷筒上的转动有所不同，将电动机到联轴器的转动惯量转化到联轴器所在轴的当量转动惯量，同理将卷筒到联轴器部分的转动惯量也转化到联轴器所在轴的转动惯量，根据外力矩使转轴转动的原理，可将卷筒到电动机部分的传动机构简化成如图2所示的模型：

图2 起升机构简化模型

Fig.2 hoisting mechanism simplified model

其中，为电动机到弹性联轴器部分的当量转动惯量；为卷筒到弹性联轴器部分的当量转动惯量；为电动机的驱动力矩；为钢丝绳作用于卷筒上的工作阻力矩；K为弹性联轴器的刚度；C为弹性联轴器的阻尼。

设的转角为，的转角为，为弹性联轴器的刚度，为弹性联轴器的阻尼。由起升机构简化模型建立微分方程组如下：

                （1）

1）．卷筒到弹性联轴器部分转动惯量的换算

从卷筒到电动机部分，存在弹性扭转及阻尼的只有弹性联轴器，整个系统部分的输入是电动机功率，外界阻力为钢丝绳牵引力在卷筒上的转矩，中间部件都是些转动件。

基于当量参数的计算遵循转化前后能量不变的原则，可以得到该部分转化到电动机输出轴上的当量转动惯量：

      （2）

    式中，为弹性联轴器转动惯量； 为制动轮转动惯量；   分别为减速箱输入轴、中间轴、输出轴上回转零件的转动惯量之和； 为刚性联轴器转动惯量； 为卷筒总成转动惯量；   为分别为减速箱输入轴、中间轴、输出轴的角速度。

2）．电动机及其输出轴到弹性联轴器的转动惯量

                    （3）

其中， 为电动机及输出轴转动惯量之和。

3). 弹性联轴器刚度和阻尼的确定

弹性联轴器的刚度是指联轴器传递扭矩时抵抗扭转变形的能力，即单位弧度扭转变形所需的扭矩。由于联轴器工作时其扭矩随电动机传递的扭矩变化很大，在不同的转速下其刚度值也不同，通常称之为动刚度。由于动刚度的测量以及带入振动方程后的数学处理比较复杂，所以通常的做法是通过动静比由静刚度换算出动刚度。联轴器的刚度通常通过实验法来求取。实验方法是通过对一与联轴器固结的杠杆端部加载测量其在相应力矩下的转角(即变形)，每次加载的数值不同其转角也不同,从而获得其刚度特性曲线。

弹性联轴器工作时不仅具有扭转弹性，而且还随着转速的变化耗散能量，这种能量耗散的性能称为联轴器阻尼，正是因为阻尼的存在，使电动机传递到机构中的力矩值受到一定的削弱，因此此处的阻尼又可称之为扭矩传递率^[9]。阻尼公式为：

                       （4）

式中，为弹性联轴器刚度，为驱动侧转动惯量，为被驱动侧转动惯量，为阻尼度（理论阻尼）。

 由（1）方程可知， 为电动机的输入转矩，为简化求解难度，我们可以结合具体工作情况，将其假设为已知的线性函数，如图3所示。另外假设可以通过安装传感器的方式测得（实验值）。这样方程组中就剩下两个未知量：角位移和工作阻力矩，我们最终需要确定的就是工作阻力矩的表达式。

图3 电动机输入转矩曲线图

Fig.3 Motor input torque curve

求解思路为先通过方程组（1）第一式求出，之后将代入第二式得到工作阻力矩的表达式。最终求得：

        （5）

     （6）

式中，为的初始角速度；

为阻尼固有频率；

其中，为阻尼比（欠阻尼系统，）；

3. 实验

为了验证建模的正确性，在桥式起重机起升机构实验平台做了如下实验：

图4 桥式起重机起升机构实验平台示意图

Fig.4 Bridge crane hoisting mechanism experimental platform

在实验中，起重质量约为10t，实验过程是重物悬空起吊，用绝对值角编码器测量电机的转速，多功能网络电力仪表测量电机功率，拉线式编码器测重物上升高度。

假设系统中不存在阻尼的情况下，由（6）得工作阻力矩表达式为：

                  （7）                      

对于起升机构上的联轴器而言，前后两轴的转角差很小，可以认为为恒定值，我们取其为。

查起重机设计手册，可得知起升机构电动机修正后的

飞轮矩为：

  其中，为起升电动机本身的飞轮矩。

根据经验可知，除电动机以外剩下转动体的转动惯量约为电动机转动惯量的25%。所以：

a.电动机及其输出轴半联轴器的转动惯量为：

b.从联轴器到卷筒部分的转动惯量为：

系统固有频率：

当起重量为10t时，可以从卷筒上直接得到卷筒上的阻力矩

  多功能网络电力仪表测量电机功率如图5

图5 电机功率

Fig. The motor power

  从图5可知重物在起吊瞬间处于波动状态与实际工作相符，在约1.6s后电机功率趋于平稳，以t=3s为例，在3s时电机的输出转矩约为 

  实验中绝对值角编码器测量电机的转速对应的码如图6所示：

图6 绝对值角编码器码数

Fig.6 The absolute value angle encoder value

拉线式角编码器的测量数据如图7：

图7 拉线式角编码器的码数

Fig.7 Guyed Angle encoder value

从拉线式角编码器码数图可以看出重物基本上以匀速上升，因此角加速度约为零。同时，通过绝对值角编码器知为0.06rad/s。

通过运算可以得到从电机转速等间接得到的卷筒上的工作阻力矩，当t=3s时：

误差分析：

通过卷筒上直接计算和通过电机上转速等参数间接计算得到的工作阻力矩的误差在5%以内，说明起升机构的数学建模方法正确，同时能从电机转速等参数间接得到工作阻力矩。

5. 结论

本文通过数学建模得到工作阻力矩的表达式，为起重机起升机构动力学分析及实验平台的设计做好了基础性的准备工作，进一步为研究无接触式称重传感器的设计提供理论依据。同时，这对于起重机起升机构进行动力学分析及仿真设计具有重要的指导意义。

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[6] 谭晓兰，韩建友，何广平.连杆机构稳健设计一般原理与方法的研究[J].机械设计与研究，2006，22(4)：24-27.

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