基于数学核心内容的PEI精细设计

四川省邻水金鼎实验学校   邓宏

华南师范大学教育信息技术学院胡小勇在《问题化教学设计——信息技术促进教学变革》一书（P50）中指出：问题化教学（PEI：Problem Enriched Instruction）是指以一系列精心设计的类型丰富、质量优良的有效教学问题（教学问题集）来贯穿教学过程，培养学生解决问题的认知能力与高级思维能力的发展，实现其对课程内容持久深入理解的一种教学模式。在数学核心内容教学中，如何精细化设计有效教学问题（教学问题集），才能使提问更有效、课堂更高效，笔者结合在实际教学中的一些做法，谈谈个人的观点。

一、数学新授课的两种基本课型的PEI精细设计案例 

（一）概念课型PEI精细设计案例

核心内容：增函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x₁、x₂ ，当x₁<x₂时，都有f(x₁)< f(x₂)，那么函数f(x)在区间上是增函数。

PEI精细设计方案如下：

问题1：若对于区间（a，b）上任意x有f(x) ＞f(a)，则函数f（x）在区间（a，b）上是单调递增吗？请举例或者画图说明。

问题2：若对于区间（a，b）上有无数个自变量，满足a< x₁< x₂<…<b时，有f(a)< f(x₁)< f(x₂)…<f(b)，则函数f（x）在区间（a，b）上是单调递增吗？请举例或者画图说明。

问题3：函数f(x)在区间[a,b]和[b，c]上递增，则f(x)在区间[a，c]上递增吗？

问题4：在函数f(x) =x²（x∈[0，+ ∞]）的图象上任意取两点，自变量大的函数值也一定大，能否说明函数f(x) =x²在[0，+ ∞] 上单调递增? 

设计意图：增函数概念的理解需强调三个方面：区间条件、任意两个、任意两个自变量的比较。尤其是“任意两个”这种表述，学生或多或少存在疑问。如何用“局部性质刻画整体性质的思想方法”来刻画函数的增减性是难点所在，我们必须在教学中采用PEI精细设计不断启发学生的学习，使学生在解决问题的过程中理解概念，从而达到教学的目的。问题1是让学生明白必须是两个变量的比较；问题2中列举了多个量，但不能代表区间的“全部”，通过学生对问题2的思考，加深学生对“任意两个”的理解。问题3是让学生理解概念中的区间条件；问题4是在前三个问题分析之后提出一个具体函数，比较它们的函数值，进而提出“怎样用符号来表示”的问题。

设计原理：从感性认识上升到理性认识，这是认识的一般规律。在概念教学中，也要遵循这一认识规律，让学生对概念的认识从表象开始，逐渐上升到理性认识，并在“理解”与“使用”的多次反复中深刻理解概念。 问题1到问题4的设计“浅入深出，由小及大”, 从简单的情景出发，从学生的“最近发展区”出发，引导学生自主建构。

（二）习题课型PEI精细设计

习题：已知直线经过点P(2，3 )，斜率为，求直线的点斜式方程和一般方程。

PEI精细设计方案如下：

问题1： 已知直线经过点P(2，3)且与x轴垂直，求直线的方程。 

问题2：已知直线经过点P(2，3)且与y轴平行，求直线的方程。

问题3：已知直线的斜率为，求直线的方程。

问题4：已知直线经过点P(2，3)，求直线的方程。

问题5：已知直线经过点P(2，3)且在x轴y轴上截距相等,求直线的方程。 

设计意图： 直线与方程这一部分内容是通过建立坐标系，将“形”问题转化为“数”问题来研究，体现了数形结合的思想。学生在学习过程中通常会忽略斜率K的存在性和直线方程五种形式运用的限定条件，因此教学过程应“接头续尾，注重过程”。问题1、2引出斜率不存在与斜率为0的直线方程，问题3、问题4促进学生对确定直线位置的几何要素的理解，引出平行直线系、引出中心直线系，问题5需要改变思维策略，进行分类讨论，利于培养学生思维严密性。

设计原理：问题设计“深入浅出，以大见小”，创造探究氛围。首先老师抛出大问题，留有空白，让学生自由发挥，然后学生带着问题自主学习，深入浅出的进行探究，历经千辛万苦，最后柳暗花明，豁然开朗。因此，PEI精细设计应体现梯度性和过渡性，备课时要在精细化上下工夫，使学生在问题串的引导下，通过自身积极主动的探索，实现由未知向已知的转变。

 二、数学核心内容PEI精细设计的必要性

数学核心内容是指数学知识体系中明确的、结构性的、有广泛运用的重要知识，包括核心概念和基本思想方法。

1. 数学核心内容的PEI精细设计，可以加深学生对数学本质的理解，提高课堂教学效率。

多数教师在实际的教学过程中通常采用这样一种模式：提出问题→介绍相关概念、定理、推论→引出结论，问题设计没针对性、层次性，起不到启发引领的作用；例题本身讲解透彻，但缺少拓展和变式训练，不能将学生的思维自然地引入到数学思考中来，学生普遍感到数学课能“听懂”，但不会解题。而科学合理地对核心内容（包括核心概念、例题）进行PEI精细设计，可以确保找准重点、落实难点，让基础知识、基本技能得到强化，并满足不同层次学生恰到好处地进行自主探究，构建有思维的数学课堂，从而提高课堂教学效率。

2. 数学核心内容PEI精细设计，可以帮助教师和学生准确把握数学知识体系，扼制“题海战术”，减轻教学负担。

在数学教学中最难最重要的是数学核心概念的教学。数学核心内容PEI精细设计，不是面面俱到，不是无限制地下注角，也不是堆砌层层关卡，更不是简单的概念+例题+变式。PEI精细设计，是对核心概念、基本思想方法的一体化生态设计，围绕“核心”，主次分明，虽“细”尤“精”， 它强调知识构建，重视思维训练，提倡自主生成。长期以来，数学教师普遍重解题、轻概念，核心概念教学、思想方法的渗透淹没在大量的解题技能培训中，致使不少学生概念模糊，从而影响对数学内容的后续学习。

3. 数学核心内容PEI精细设计，可以锻炼学生思维能力，提升学生数学的核心素养。

数学的核心素养是指具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，即提出问题、分析问题、解决问题的能力，以及在此过程中表现出来的综合品质。数学核心内容PEI精细设计，就是把学习置于真实、复杂、有意义的情景之中，让学习获得了一种独特的思维张力，而这一过程，恰恰是学生核心素养得以养成的重要路径。