球杆模型的归类及解题策略分析

成笑然

（山东邹平县第一中学 山东邹平  256200）

摘要：文章对球杆模型进行了归类，并进行了解析，尤其是凸显了球杆模型中的极值问题。有些解题方法，对于同学们参加竞赛和自主招生考试具有一定的指导意义。无论是高考题，还是模拟题，还有竞赛题，笔者都有针对性地进行了改编，使其更适合学生自主学习。

关键词：球杆模型  速度关联 系统机械能守恒 动量守恒定律 约束条件

一、问题的提出

笔者在做模拟题、高考原题和竞赛试题的过程中，发现球杆模型占有一定的比重，因为牵扯到知识点比较多，并且夹杂有极值问题，对此类问题，周围的部分同学丈二和尚摸不着头脑，有点束手无策，因此笔者通过查阅资料和询问老师，感觉有必要对此类问题进行归类分析。所谓球杆模型，是指几个球与一轻质杆固定在一起，在一定的约束条件下发生各种运动，在运动过程中产生各种极值问题。比如下题：

例1.(2015年全国二卷21题改编)如图1，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。求a球下落过程中，a球的最大速度。

解析：设轻杆与竖直固定杆夹角为θ，根据速度的合成与分解，两球沿杆的投影速度相等，所以，当a落地时，b的速度为零，所以此时a球的速度最大。a落地时，a的重力势能全部转化为a的动能，，所以a球的最大速度为：。

解决此类问题，一是要考虑速度的关联，因为杆不会伸缩，所以两球沿着杆的投影速度大小一定相等；二是要考虑系统机械能守恒，几个球组成的系统，在只有重力做功的情况下，几个球组成的系统的机械能守恒。

二、问题的归类与解决策略分析

1.约束条件的变化

在例1中，约束条件是a和b两个滑块在相互垂直的直线上运动，我们可以把约束条件改为在两个小球在同一竖直球面内运动。

例2.（根据模拟试题改编）如图2所示，一轻杆两端分别固定质量均为m两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个光滑球形容器内，起始位置如图所示，B球恰好在球形容器的最底部，从图示位置开始由静止下滑，球的半径为r，杆长为，当地的重力加速度为g。求运动过程中，A、B两球的最大速度。

解析：如图3所示，两个小球在运动过程中，三角形AOB为等腰三角形，根据沿杆的分速度始终相等，无论杆长为多长，A、B两球的速度大小始终相等，这一个点可以作为二级结论来用。

当A、B两球下滑到等高位置时，A、B两球重力做功最大，此时A、B两球的速度最大。根据系统机械能守恒得：

解得：

约束条件变化，还可以把球必须沿着细杆运动变化为球沿着竖直墙面运动，如例3所示。

例3.如图4所示，长为L的轻质杆两端各拴质量同为m的小球A和B。开始时，A与竖直墙接触，B与水平地面成角60°。现释放系统，A在开始的一段时间内沿墙下滑，B一直向右运动。设所有的接触面都光滑，问当杆与水平面成多大角度时，A球开始离开墙面？此时B的速度是多大？

解析：A、B两小球在运动过程中，因为只有重力做功，所以A、B两球系统机械能守恒，在A 球未离开竖直墙面之前，根据机械能守恒定律得：

因为沿杆的分速度大小始终相等，所以

整理得：

根据系统牛顿第二定律，墙对A球有弹力，A、B两球在水平方向上有加速度，A球沿着墙面运动，水平方向加速度为零，所以B球在水平方向有加速度。当A球恰好离开墙面的临界状态时，此时竖直墙面的弹力为零，B球加速度为零，速度达到最大。令

，要想B球速度有最大值，第一种方法，可以对y求一阶导数。得：

有极大值时，一阶导数为零，即：

解得：

所以最大速度为：

第二种方法，，之和为定值，当时，有极大值，其它略。

注意：墙的弹力虽然对系统产生了向右的加速度，但是墙的弹力对系统不做功，一是因为弹力的作用点对地没有位移；二是墙不可能对外输出机械能。B球的动能之所以增大，是因为A球的机械能减小，转移到B球，因此A、B两球的机械能守恒。

2.平动到转动的变化

球杆模型另一个变化就是球从平动变化为转动，它们的速度关联是角速度相同，第二个是在仅有重力做功的情况下，系统的机械能守恒。如例4所示。

例4.如图5所示，质量分别为4m和m的可视为质点的小球A、B，固定在一轻质杆两端，轻质杆可以绕着转轴O在竖直平面内自由转动，OA=R，OB=3R，初始状态杆处于竖直状态，A球处于最高位置。在一微小扰动下，杆开始自由转动，求转动过程中，A、B两球的最大速度。

解析：转动过程中，两球的角速度相同，设为ω，

解得：

所以A球的速度为：

所以B球的速度为：

3.既有平动又有转动

    球杆模型，有的既有平动，又有转动。这类问题，也需要我们学生认真思考。

例5.如图6所示，质量为m的两个重球A和B由刚性轻杆连接，竖直立在光滑水平面上。现若对B施加轻微扰动，使系统逆时针翻倒，试求B端所受地面支撑力和杆的方位角θ的关系。

解析：水平方向动量守恒

系统机械能守恒得

沿杆方向速度相同

以B为参考系（非惯性系），A做圆周运动，动力学方程为

惯性力

B球竖直方向上合外力为零

解得：

3.一杆变两杆约束

    例5.如图7所示，两根长度均为L刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接，另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此装置的两杆合拢，竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下，使两小球向两边滑动，但两杆始终保持在竖直平面内，忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为90°时，质量为2m的小球速度。

解析：设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v₁，右边小球的速度为v₂，球形铰链的速度为v（方向和竖直方向成θ斜向左）。

此过程中，三球组成的系统机械能守恒

三球组成的系统水平方向动量守恒：

左边杆子不形变，有：

右边杆子不形变，有：

解得：

三、结束语

通过上面的归类和解析，我们不难发现，分析解决球杆模型类题目，一是要抓住速度关联，从而建立相应的关系式，二是要主要守恒思想（机械能守恒定律和动量守恒定律）的运用，三是要学会分解和运用动力学方程等基本的分析问题的方法。只要掌握了以上几点，解题也就自然水到渠成，事半功倍。

参考文献：1.朱建廉，陈连宇.高中物理竞赛全解题库[M].南京：南京大学出版社，2010:102-103。

          2.谷明杰.高中物理解题思路16讲.[M]天津：天津教育出版社，2006:147.