蚂蚁如何爬行路线最短问题解读

马兴晓

    如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.

    上面题目解答分三种情况去分析，比较繁琐，有没有规律可循，能直接确定按照哪种情况最短呢？笔者分析上面三种情况得出的数据，第一种情况沿着长度最长边A1B1展开，蚂蚁爬行路线最短，第二种沿着长度最短一边BB1展开，爬行路线最长，第三种情况沿着长度居中的一边A1D1展开，蚂蚁爬行路线居中。于是猜想，沿着最长边展开时蚂蚁爬行的路线最短；下面证明如下：

    假设一个长方体的长、宽、高长度分别为a、b、c，且a>b>c>0，那么分三种情况进行讨论：

1、沿着a折叠：此时长度应为：

2、沿着b折叠：此时长度应为：

3、沿着c折叠：此时长度应为：

下面比较三个数值的大小：

将上面三个数值分别进行平方，得到：a²+b²+c²+2bc

                                  a²+b²+c²+2ac

                                  a²+b²+c²+2ab

由于a>b>c>0，所以2ab>2ac>2bc,所以a²+b²+c²+2ab>a²+b²+c²+2ac>a²+b²+c²+2bc，所以

很明显，当沿着最长边a展开时，蚂蚁爬行路线最短。所以得出结论：当沿着最长边展开时蚂蚁所走的路线最短。