解答错题  启迪人生

叶杭来

（浙江省三门中学， 浙江   台州三门   317100）

【摘要】高中数学是一门比较难学的基础学科，同一个题目有多种解题方法，致使解题难，而命题更难。通过对本校模拟错题的分析，检验了所学的知识，提高了解题能力，同时，还明白了人生哲理：要想在挑战和绝望中赢得转机，就必须事先做好充分准备，只有这样，才能有信心去迎接挑战和绝望。

【关键词】数学错题   从形和方程角度解答   启迪人生

众所周知，高中数学是一门比较难学的基础学科，由于同一个题目有多种解题方法，致使命题者增加了难度，这可谓：解题难，而命题更难。通过对本校第一次模拟试题的分析，发现其中一个解答题，系命题者考虑不周，而留给本文探讨的好题目。

一、命题内容

在中，角A,B,C的对边边长分别为，已知 且。

（一）求的值；

（二）若的面积，求的取值范围。

二、分析解答

（一）=4（解题过程略）；

（二）这一小题，既可从形的角度来分析解答，也可从方程的角度进行分析解答。

1、由形入手进行分析解答：

∵ ，又，，

， ，

此小题从表面上看，是一个常规的题型，比较平常，用常规的思路解题，没有任何悬念。但运用所学的知识，仔细进行分析，发现隐含着我们未曾注意到的知识点：

题中的，可由正弦定理化为，都为锐角，这给本小题增加了限制条件，角A,C的范围应重新计算，  ，   ①，

分析到这里，挖掘到上面这样一个隐含条件，笔者缓缓舒了一口气。“行百里者半九十”，再接再厉，继续分析， 是否也会隐含什么？笔者又有了新的发现：

， ， ②，也就是说，此时缩小了的范围（由上面的①，变成现在的②），可 依然没有改变，然而，

解答题中角的范围，还需要精确地表示出来。

根据题中的条件 作右

图：以AC为x轴，以它的垂直平分线为y轴，

建立平面直角坐标系，

设B（x ,y） ，  ，

, 这样，得到点B在直线上，又，所以

点B是一个定点，从而可知，题中的

是一个定值。（惊讶否？）

大家也可以这样来看B点的轨迹：，

所以点B在以M为圆心的圆上, ,

又，，圆M的方程为，

根据正弦定理，可将  化为 ，

由此可知，点B在x轴上的投影点为，再在圆方程中取，可得

，，也就是说，点B的位置是确定的，从而可知，角是定值，也是一个定值。是定值，证明如下：

由上可知

同理：

2、从方程的角度进行分析解答：

，又，由余弦定理得：，两个方程两个未知数，可知是可以求出来的定值，进而知道，是个定值。

由 ，得：，即

令，，，

因边长是定值，故角也随之确定了（为定值），留下的就是对结果的计算了。

此题，是命题老师考虑不周所致，其结果虽不尽人意，但让笔者感到无比欣慰。它让笔者检验了所学的数学知识，锻炼了发现问题和解决问题的能力，提高了数学解题水平。

此题虽是错题，但是一个能锻炼人思维的好题，它让人们明白如下道理：挑战和机遇并存，绝望和希望并存，但机遇和希望，都是留给有充分准备而信心十足的人。一个人如果平时不努力，没有做好充分的准备，即使碰到了机遇和希望，也将会因没有准备，而丧失良机和绝望叹息，更不可能在挑战和绝望中，赢得转机。只有脚踏实地，一步一个脚印，持之以恒不断努力的人，才有信心去迎接挑战，在绝望中看到曙光。

参考文献：

﹝1﹞﹝美﹞G﹒波利亚.怎样解题——数学思维的新方法﹝M﹞.涂泓，冯承天译.上海：上海科技教育出版社，2007.

﹝2﹞曹兵.高中数学难题新题精讲精练300例﹝M﹞.上海：上海交通大学出版社，2008.

﹝3﹞陈汝作，郑又宜. 高中数学解题技巧﹝M﹞.上海：东方出版中心，1992.

作者简介：

叶杭来（2001—），男，汉族，浙江三门人，浙江省三门中学高三学生，研究方向：数学