基于GPS的直线度公差建模及规范设计研究

Research on the tolerance modeling and the specification design of straightness based on GPS

周鑫，张琳娜，赵凤霞

（中国电子科技集团公司第二十七研究所，河南 郑州 450047）

ZHOU Xin, ZHANG Linna, ZHAO Fengxia, ZHENG Peng

（The 27th Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation，Zhengzhou 450047，China）

摘要 为解决机械产品中规范设计与测量认证不一致的缺陷，本文基于新一代产品几何技术规范GPS（dimensional geometrical product specification and verification，简称GPS）对产品进行数字化建模及规范设计。基于恒定度和恒定类建立了直线度公差和圆度公差的数学模型；基于所建立的数学模型，采用VB为开发工具在CATIA平台下进行几何变动虚拟仿真模拟，建立其肤面模型；基于GPS的操作和算子技术求得肤面模型的特征值，实现了直线度公差的规范设计；实验结果表明，基于新一代GPS的产品数字化建模及规范设计是将几何产品的功能要求、规范设计及测量认证进行数字化的统一，体现了并行设计的思想，为GPS的推广应用奠定了一定的基础。

关键词 恒定度； 数字化建模；规范设计；肤面模型；操作算子

中图分类号  TH124

Abstract In this article, to settle the disagreement between the specification design and measurement certification，digital model and specification design of product based on new generation GPS is presented. Based on invariance degree and invariance class, Mathematical model of straightness tolerance and roundness tolerance are established. According to the established mathematical models，virtual simulation of geometric variation is carried out using VB as a development tool in CATIA, then , skin models are established. The characteristic value of skin model is calculated based on operation and operator technology of GPS, realizing the specification design for straightness tolerance and roundness tolerance. The result shows that digital model and specification design of product based on new generation GPS can help to realize the digital consistency of functional requirements、specification design and measurement verification，which has certain practical significance for improving the application of the new generation of GPS.

Key words  Invariance degree；Skin mode；Specification design；Digital model；Operation and operator technology

Corresponding author: Zhou Xin, Email:cszx8286@163.com 

The project supported by the Science and Technology Key Program of  Henan Province (No.424490029).

1 引言

随着制造业数字化、信息化的发展，产品质量的提高、成本的降低和更新换代速度的逐渐加快。但与此极不相适应的是，长期以来基于几何学理论的几何产品精度规范和认证体系不支持CAx的信息集成环境，导致产品功能要求、设计规范以及测量认证方法的不统一。为此，ISO /TC 213建立了以计量学为基础，适应CAx集成要求的、支持数字化设计与计量的新一代GPS（即：Dimensional Geometrical Product Specification and Verification，简称GPS）标准体系。新一代GPS基于对偶性的操作技术和计量统计学理论，将不确定度的概念拓展到了整个GPS过程，并利用拓展后不确定度的量化统计特性和经济杠杆调节作用，将产品的功能、规范与测量认证集成一体，有利的促进以产品质量效益为核心的设计、制造、计量认证体系的形成和优化。本文基于对新一代GPS进行产品的数字化建模及规范设计，基于恒定度和恒定类建立直线度公差数学模型，在CATIA平台下进行产品的仿真设计，建立其肤面模型。基于新一代GPS的操作和算子技术对肤面模型进行提取、拟合、估值等操作，得到其公差规范，实现了产品的几何特征设计、制造与测量认证一体化。

2 新一代GPS的恒定度和恒定类

新一代GPS将工件的几何形体划分为7中恒定类，所有的理想要素都属于7种恒定类中的1种，每种恒定类都有相应的恒定度^[1]。如表1所示，一个棱柱沿其轴线平动（Tz），其本质特征及方位特征是不变的，其恒定度是1，属于棱柱恒定类。由机构运动学的理论可知，空间几何形体有沿（或绕）x、y和z轴6个方位的运动，若设其恒定度为m，则有(6-m)个自由度。

表1 理想要素的恒定类

2.1 基于GPS的直线度公差数学模型

由ISO 1101可知，任意方向上的直线度公差带形状为直径为T_F的圆柱面区域，如图1建立局部坐标系，坐标系原点O位于理想直线L的中点，点M（x, y, z） 为公差带内的任一点,M在直线L的投影为N，则：

图1 任意方向上直线度公差带及其局部坐标系

由新一代GPS中恒定类、恒定度知，直线度公差直线L有四个自由度：沿x轴、y轴的平动dx、dy,绕x轴、y轴的转动、，因此L的理想方程和变动方程分别是：

理想方程：         变动方程：           (1)

因此可将、、、作为模型的设计变量，只要确定各个设计变量的变动范围，就可以确定变动直线方程，下面求各个变量的变动范围。

 设直线在x、y 方向上给定的尺寸公差带分别为、，上下偏差分别为、、、,直线度公差带与尺寸公差带的空间关系如图2所示：

图2  直线度公差带与尺寸公差带空间关系     图3 直线度公差带在XOZ平面极限位置

当直线绕x轴的转角取得最大值时，公差带在XOZ的投影为间距为的平行直线内如图3所示，这时直线度公差带的两个极限控制点是A(,)、B(-,-)，则将控制点代入（1）中的变动方程可得：

                                  （2）                                

由于，所以，代入上式可得：

                         （3）                             

同理得：

                         （4）                                  

因此，建立独立原则下直线度公差的数学模型如下：

变动：

                               （5）

约束：

                       （6）

2.2基于CATIA的直线度肤面模型的建立

为了建立任意方向上直线度公差的肤面模型，本文以VB为开发工具在CATIA下进行虚拟变动仿真。

（1） 确定变动轴中心曲线上的特征点。以CATIA默认的坐标系为理想坐标系，基于上述所建立的数学模型，采用分截面取点的方法，分别在平行与XOY平面内找到满足约束条件的点。

（2） 基于上述所确定的特征点，通用CATIA的样条曲线函数得到变动轴中心线。

（3） 确定变动中心线之后，沿z轴把中心线均分为n等分，设其第i个点为，以为圆心，以为半径画理想圆，这样便可得到n个理想圆，然后通过多截面曲面拟合得到变动有直线度误差的变动轴，也即生成具有直线度公差要求的肤面模型。

图4所示为一离心泵的泵轴，其作用是支持叶轮等回转件，带动叶轮作高速旋转，承受较大的弯矩和转矩。因此对左端轴段有直线度要求为0.02.，圆度公差要求为0.01，其公差值T_F=0.01mm，。只考虑直线度公差采用前述方法可以建立多个轴段的肤面模型，如图5所示。

图4 泵轴

图5 有直线度要求的肤面模型  

又因为对此轴不但对中心线有直线度公差的要求，对轴也有形状的要求。因此，建立其肤面模型时要把圆度公差考虑进去。

圆度公差主要控制径向截面的圆的形状公差，公差值为两同心圆之间的区域。主要考虑的是二维平面内，理想圆的变动。这样生成有直线度公差的轴类变动体时，只需在步骤（3）中考虑圆度公差。

以CATIA中XOY平面为例，设其坐标原点为圆度公差带的中心，如图6所示，M为圆度公差带内任一点，圆度公差值为。根据圆度公差的定义，半径R与矢量与满足关系式：

图6 圆度公差带示意图            图7 圆度极大值示意图

下面确定圆度公差带的圆点O分别沿x轴和y轴平动的范围。由图7可知，当圆度公差带沿x轴移动到极限位置，极限控制点的坐标为A、B,这时A点所在的圆半径为()、B点所在的圆半径为()，则有：

                        (7)

整理式（7）可得：

                        （8）

同理可得：

                        （9）

因此圆度公差的数学模型为：

变动：

    （10）

约束：

                            （11）                        

基于圆度公差的数学模型，分别判断在每一个特征点的坐标点，是否满足式（10），如果在，那么在该平面内，以为圆心，逆时针绕圆周随机取体现圆度轮廓的100个点。如果不在，那么在该平面内重新取点，直至满足上式，算法流程图如9所示。这样模拟出的肤面模型如图8所示。

 图8 轴的肤面模型

3 基于GPS的直线度规范公差规范设计

在新一代GPS标准系中，为了清晰定义、协调统一几何产品的规范和检验，提出了操作和算子的概念^[4]。操作是为体现要素、获得规范值和特征值而对表面模型或实际工件表面所进行的特定数字化处理方法^[1]。包括要素操作和估值操作。要素操作是为获取理想要素或非理想要素，包括：分离、提取、滤波、集成、构建、评估6种操作；估值操作的目的是获取规范值或特征值。在本文对空间直线度的误差进行的规范设计中，所涉及到的操作主要有：分离、提取、拟合和估值。

（1） 分离

从泵轴中分离出有直线度要求的轴段，置于CATIA的空间坐标系OXYZ中，即得到分离的非理想表面模型如图8所示。

（2） 提取

为了获得对被测要素形状的可靠评价，需要确定能够在非理想表面模型上获得一组有代表性的采样点。如图10（a）所示。根据 ISO 12181-1，采样截面和每个截面上的采样点数由轴的直径和长度确定，此被测轴等间距测量5个截面，每一个截面轴向等角度测量150*7个点，如图10（a）。

            （a） 提取      （b）拟合     （c）集成     （d）评估

图10.直线度规范设计

（3）拟合

如图9c所示，对各离散采样点用理想截面圆进行拟合，可以得到各截面轮廓的拟合圆心。根据ISO 12181-1，拟合准则包括最小二乘法、最小外接法、最大内切法及最小区域法，其中最小二乘法应用最广泛，是默认的拟合准则。本例对每个截面采用最小二乘法进行拟合，拟合后得到每个截面上的圆心，如图10（b）。

（4）集成

然后将圆心用空间折线连接起来，用以体现被测实际轴线，如图10(c)所示。

（5）拟合

基于上述得到的被测实际轴线，按一定方式对该轴线进行拟合，得到空间直线的评定直线。根据ISO 12789-1,采用最小二乘评定直线。

（6）评估

此操作主要是确定几何公差值，通过上述拟合操作得评定轴线，设各采样轮廓的最小二乘圆心至评定轴线L的距离为，则得到该轴线的直线度误差的特征值为

将直线度误差值和圆度误差值分别放大100，得到随机模拟出的1000个轴的肤面模型，用上述操作方法进行评估，得到1000个直线度误差值，如图11为测量数据的分布直方图。由直方图可知，测量数据服从正态分布，算术平均值为2.0034 ，标准差为1.0639 ，用此也为直线度规范设计值，用此值去修正初始公差值。

图11.测得数据的分布直方图

4 结论

本文在新一代GPS的基础上，对直线度公差的规范设计进行了深入研究，建立了直线度公差的数学模型和圆度公差的数学模型；以一实际有功能要求的轴段为例，建立轴的肤面模型，并对其进行规范操作从而得到特征值。实例结果表明，基于GPS的直线度公差规范设计体现了将产品的功能要求、规范设计和测量认证集成一体的思想，从根本上改变了传统设计中设计与检测相分离的状况，为新一代GPS标准在工程实际中的应用提供了有利的借鉴。

参考文献：

[1].张琳娜主编. 精度设计与质量控制基础[M]. 北京：中国计量出版社，2006,8，219-240

[2].张琳娜，赵凤霞，李晓沛，翟风喜。现代产品几何技术规范（GPS）体系及应用分析[J].机械强度，2004，26(4):400-404

[3]. 吴文锋.新一代GPS用于CAD特征建模的理论及应用研究.[D],湖南大学 2005.6.30

[4].张琳娜，郑玉花，庆科维，郑鹏，赵凤霞。基于GPS的圆度、圆柱度误差数字化计量方法研究[J].机械强度，2007，29（5）：811-815

[5].Jean-Yves Dantana, Alex Ballub, Luc Mathieuc. Geometrical product specifications-model for product life cycle   Computer-Aided Design 40 (2008) 493–501