多角度分析2018年全国三卷第21题

                                 黑龙江省大庆实验中学  张继云       zhangjiyun2011@sina.com

问题：已知函数

（1）若

（2）若是的极大值求.

2018年的高考重点考察了学生的独立思考、逻辑推理、数学应用、数学阅读和表达等关键能力，重视学科的主干知识，将其作为考察重点，围绕主干内容加强对基本概念、基本思想方法和关键能力的考查（教育部考试中心），2018年全国三卷即遵循了考试命题中心的思想，着重考察了学生对函数极值的概念理解；

解:（1）当时，

则

令

则在上单调递增

又

所以当时，恒成立

当时，恒成立

又由于当时

所以

通过导函数的正负，判断函数的单调性，并利用函数的单调性求取函数的最值和比较大小是高中数学对学生解题能力的基本要求。

（2）因为

故

因是函数的极大值

故

此时学生会发现恒成立，并没有通过此种方法求得的值，此时大多数考生就无从下手了。

笔者大胆猜想，这个地方可能是出题者有意为之，平时我们在授课时反复强调若函数连续可导，则“”是“为函数的极值点”的必要不充分条件。而学生对这部分的理解并不是很好，在求一些参数值的时候，往往是利用导数值等于零直接求得，而忽略了单调性的验证，本题恰可以作为一个反例进行说明。

  角度一： 是的极大值点，则且函数在内单调递增，在内单调递减，这可以通过判断函数的正负进行研究，即函数在大于等于零，在小于等于零。

  而判断函数的正负情况，可以通过研究其单调性进行解决，满足题意的一个充分不必要条件即为在内单调递减，即在恒成立。

则当时

即当时

即当时

利用洛必达法则可以知道

当时

所以

本题是立足于函数极值的概念，考察了学生对极值点的理解，本种方法是“为极值点”的一个充分不必要条件，有所遗憾，同时本种方法还应用了洛必达法则，这又超出了高中学生的认知范围，且为高中大多数教师不能接受的，因此，还需另寻它法。

角度二

为了避免使用洛必达法则，在研究的单调性时，可以通过研究的正负情况

=

分析以上条件可知，恒成立，故若要在成立，在上的一个充分不必要条件是在单调递减，即在恒成立，即在单调递增，在上单调递减，所以的图像在时，位于轴上方，当时，其图像位于轴下方，所以其图像经过了点，即

角度三.

令

对称轴

若

则在上恒大于零

即在上单调递增

又

则当时，

当时，

即在内单调递减

在内单调递增

又

故在内恒成立

即不是极值点，这与条件矛盾

故不成立

同理可证

若，则函数在内单调递减

不是极值点，这也与条件矛盾

故

角度四.

因为

恒成立

下证，当时，

当时，

因为，则

引理（对数平均不等式）

令

则

当时，

则

令

令

则

即

同理，当时

因

则

令

令

则

即

综上所述

点评：以上方法是利用了不等式放缩的技巧，中间利用了对数平均不等式，起初作者想利用进行放缩，但是总是差一点，不等式放缩的技巧对学生能力要求较高，很多学生因为对不等式掌握较少，因此很难想到此种方法，尤其是在高考考场上，更难想到，除此之外，我们不难发现，这种方法仍是一种充分不必要的条件，那么如何寻找其充分条件呢，接下来作者不得不借助于积分的性质，对本题进行跟深入的剖析了。

角度五：

引理：（积分的性质）

设与为定义在上的两个可积函数，若，，则

为了研究在的正负情况，及判断的正负情况，为了研究方便，令，因为当时，在恒成立，故函数与的正负情况一致。

因

若

则当时

当时

则在上单调递减

因

故当时，

时，

则当时，

时，

即是为函数的极大值的一个必要不充分条件，即

若

则

当时，

由

即

即

即

若

则

即

这与“当时，”矛盾

若

可验证，是的极大值

所以是“为的极大值”的充要条件。

数学概念是整个数学知识体系的基础，理解概念并能够掌握概念，才能相应地利用其进行正确的判断和推理，才能进行正确的论证，一名学生的解题能力高低，解题角度的好坏无不是建立在数学概念这个基础上的，日行千里，始于足下，要想剥开数学这个神秘的面纱，就需一层层地对其进行理解，这样才能使得庐山真面目，才能更上一层楼。