含参数的线性规划问题的求解策略的探究

———信息技术与数学课堂深度融合案例研究

广西宜州区第一中学   罗宇军

摘要：本节课主要探讨含参数的线性目标函数问题的求解策略，含参数的线性目标函数具有较强的抽象性，参数的变化对于可行域或目标函数的变化对于学生来说不易理解。我们希望信息技术与数学教学融合，利用几何画板动态展示，通过引导学生的观察与发现，体会参数变化对图像的影响，通过教师的展示、引导，学生讨论、交流、探究出含参数的线性目标函数问题的求解策略，本文旨在给学生介绍解题的方法和为老师提供探究的模式。

关键词：线性规划、几何画板、参数、信息技术

一、 问题的提出

含参数的线性目标函数具有较强的抽象性，参数的不同对于可行域或目标函数的变化不同对于学生不易理解,本人对一次高三模拟考试的结果进行了分析，一个题的平均分为0.82分（填空题，5分）。为此随机抽取了20名得0分的学生进行了访谈，主要问题为：（1）7人认为不知道参数对可行域和目标函数的影响。（2）11人认为参数多了，不知道如何讨论。（3）17人在参数条件下最优解不会找，由此可见：这种类型的题目学生的掌握的情况是非常差的。由此产生了进行案例探究的欲望。希望通过几何画板与课堂教学的融合，探究出含参数的线性目标函数问题的求解策略。

由于线性规划问题，可行域和目标函数都是线性的，参数的引入意味着直线的变化，而直线的变化一般有两种变化：斜率变和截距变。

探究1：什么情况下斜率变？

通过前面的课件，容易看出参数为x,y前有系数时，引起斜率变化，直线绕定点旋转。

探究2：什么情况下斜率变？

通过一面的课件，容易看出参数为常数项时，引起截距变化，直线平行移动。

二、 问题的分类

结合参数所在的位置，我们可以很容易地发现含参数的线性目标函数问题一般可以分为两类：

1、约束条件含有参数的线性目标函数问题，（称之为：域变目标定问题），形如若变量x,y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为－６，则k=    。

2、目标函数含参数的线性规划问题，（称之为：域定目标变问题），形如：若变量x,y满足约束条件，且z=ax+y的最小值为4，则a=    。

三、 探究模式：学生分小组学习，每个小组提供笔记本一台，安装几何画板，老师制作课件，并介绍课件的使用方法，由学生操作、观察、讨论、分析、交流、归纳总结。

四、 求解策略的探究

1、探究约束条件含有参数的线性目标函数问题（域变目标定问题）

例１：若变量x,y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为－６，则k=    。

按照正常的线性目标函数求解发现可行域虽然含参，但参数对直线的变化容易得到，发现无论k如何变化，最优解都在y=x和y=k的交点取得，把抽象变成具体，能直观得到最优解的判断。

正常情况下，可行域和目标都是变化的，学生分析起来比较困难，如果我们能够把两个变量减少到一个变量，解题难度将会减小许多，在这一指导思想下，通过与学生小组讨论发现：如果z=2x+y＝6，不得到定直线2x+y＝6，只需要改变K，改变可行域使C（k,k）在直线2x+y＝6上就满足条件了。由2k+k＝6，得到k=2。

总结：可行域中含有参数的解题策略：

通过研究发现：把最值代入目标函数得到一条定直线，平移此直线分析它与可行域的相交情况即可快速解决问题。

试一试：

练习：若变量x,y满足约束条件，且z=x+y的最大值为9，则m=    。

2. 探究目标函数含参数的线性规划问题（域定目标变问题）

例２：若变量x,y满足约束条件，且z=ax+y的最小值为4，则a=    。

分析：目标函数中化为斜截式后斜率和截距都变，不好画图，相比参数在可行域复杂，但类似地我们可以通过特殊探究，然后得到一般的变化。

总结：目标函数中含有参数的解题策略：通过研究发现：把最值代入目标函数得到一条过定点的直线，旋转此直线分析它与可行域的相交情况即可快速解决问题。

此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换，如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值。

练习：若变量x,y满足约束条件，且z=y-ax取得最大值6，则实数a=    。

本节课采用“多媒体辅助教学模式”， 多媒体教室，几何画板软件，多媒体教学平台的使用，直观展示了参数与线性规划的动态变化关系，更大限度地帮助学生理解参数的引入与线性规划之间的关系，精心创设问题情景，从发现问题到引发问题的讨论、交流、探索，从而达到解决问题的目的，最后引导学生猜想、验证、归纳，反思。整个教学过程充分发挥学生的民主，以独立思考和多向交流、生辩等相结合，教师在其中是参与者、组织者、协作者，不断地监控学生的认知与思维过程，帮助学生发现问题、排除障碍，从而解决问题。

通过信息技术与数学课堂的深度融合，充分利用信息技术的直观呈现的特点，引导学生思考、讨论，使得数学教学中的疑难问题可以得到非常容易的解决，充分体现信息技术与数学课堂教学深度融合的可行性和必要性。