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高中数学应用题解题方法的探索—运用图表法

（甘肃省陇南市康县第一中学 张步旭）

【关键词】 图示和列表辅助手段分析思考解法

【内容摘要】高中数学应用题题型的复杂性和多样性，决定了解题策略的多样性。在具体的教学过程中，教师如果能够教会学生熟练地运用图表法，就可以化抽象为具体，化繁为简，化知识为能力，使复杂的数学关系变得直观、形象、简易；同时，借助图表能够准确地找出数量间的对应关系，具有很强的实用性，更重要的是，在画图的过程中还可以激发学生的灵感，提高学生的联想和一题多解能力。

如何解答数学应用题，是高中数学教学的重点和难点之一。在实际教学中我们发现，很多学生一看到应用题就发愁，有时经过冥思苦想也往往不能正确解答，个别学生在考试中一遇到应用题就想放弃，这说明应用题已经成为学习中的一种心理障碍，成为学生学好数学的一块绊脚石。我们都知道，解答应用题的关键是正确理解题意，弄清数量关系，正确列出算式。在实际的解题教学中，我认为，除了要引导学生读懂题目，理解题意，分析题中已知量和未知量之间的关系，提醒学生抓住题目中所涉及的数量之间的基本关系外，还应注意应用“图示和列表”等辅助手段帮助学生进行分析，运用这些方法可以直观地反映题目中的数量关系，比较顺利的列出方程（组）或关系式，解决数学应用题。

例1.甲、乙两队合做一项工程，16天可以完成，两队一起合做4天后，剩下的工程由乙队独做，所需的天数比甲队单独完成全部工程所需的天数多12天，求甲乙两队单独完成全部工程各需多少天？

【分析】这是典型的工程问题，数量间的基本关系式是：工作量=工作效率×工作时间，设甲队单独完成全部工程需X天，可以列表如下：

	工效	时间	工作量
甲	1/X	X	1
乙	1/16－1/X	X+12	3/4
合作	1/16	16	1

从这个表格可以清楚地分析乙的工作效率×乙完成全部工程的工作时间=3/4的工作量，可列出方程。

【思考】用列表法可以解决有关行程、工程、浓度、利息等数学应用题，其优点有：1.可以直观地，清楚地反映题目中的数量关系，从而启发学生的形象思维；2.可以把已知与未知数“对号入座”，特别是在题目条件比较复杂的时候，表格可以帮助学生将已知条件理顺，以便正确的理解各数量之间的关系，避免胡乱拼凑关系式。

例2.有一座正方形的城，不知道它的大小，各边中间开门，出北门20步有一棵树，出南门走14步，再转向东走1775步，就可以看见这棵树，求这座城每边的长。

【分析】这个题目中的数量关系不很明显，学生往往望而生畏，不知从何处入手。但是只要我们画出草图，并借助几何中“相似三角形对应边成比例”这一性质，

就会很顺利地列出方程。从图示可以看出到，若设DF为X（城边长），则

EH=X DE=X/2,由△ABC相似△DBE可得出方程：X/2:1775=20:（20+X+14）

【思考】通过作出辅助图形，可以帮助我们发现并较容易地找出题目

中隐含的复杂关系，列出相应的解题关系式，分析建立数学模型，也可以

叫图形分析法。

例3.新学期开始，八个老师参加学校校务会议，假如每两个人握一次手，那么一共握手多少次?

【思考】解法1（归纳法）：把问题作简单化处理，即依次考察人数为2人、3人、4人……的情况，类推得出一般性结论，显然，当人数分别为2、3、4、……时，握手次数分别为1、3、6、9、……这是一个等差数列，需要求的就是这个数列的第七项，即为28，即八人共握手28次，进一步还可以得出n个人共握手（n²+n）次。

解法2（图表法）：将八个人分别视为凸八边形的八个顶点，即建立八边形的

“数学模型”，则八个人共握手的次数就是八边形的边数和对角线数之和。即

为：8+=28（次）

例2.如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD、DC，且拐弯处的转角为120°，已知某人从C沿CD走到D处用了10分钟，从D沿DA走到A处用了6分钟。若此人步行的速度为每分钟50米，

求沿扇形的半径OA的长（精确到1米）。

【思考】这是一道常见的经典型数学应用题，可以演变出多种题型，也可以有多种解法。解题的总体思路是：设该扇形的半径为r米．根据题意可知CD，AD和∠CDO，进而在△CDO中利用余弦定理建立等式求得r．

解法1：设该扇形的半径为r米．（如图1）
由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°
在△CD0中，CD²+OD²-2CD•OD•cos60°=OC²，
即500²+（r-300）²-2×500×（r-300）×=r²，解得r=≈445（米）
答：该扇形的半径OA的长约为445米。