立足掌握教材基础知识，提升数学综合运用能力

四川省攀枝花市第七高级中学校教育集团   617005   李黎明

向量是数学中的一种工具，因为有向量的运算，所以向量在在很多方面都有应用，文[1]中借助向量线性运算研究了三角形的重心的向量表示和三角形面积与向量的关系及并借助空间向量研究了立体几何中的部分性质，文[2]借助向量的线性运算研究了三角形面积与五心的向量表示，从两篇文章中可以看出向量线性运算的强大功能．向量不仅有线性运算，还有数量积运算，也很好的体现向量的强大功能．本文从向量的数量积运算入手，进一步理解与认识向量．

向量的数量积定义：设向量，是两个非零向量，把数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角．

将叫做向量在向量方向上的投影．

1、对数量积的初步理解：

（1）求两个向量与的数量积，就是要求两个向量的模长与其夹角的余弦值的积；

（2）向量与的数量积也等于向量的模长与向量在向量方向上的投影的积．

典型例题：

例1、如图，已知正方形的边长为2，点是正方形内及边上一点，求的最大值．

分析与解：利用向量数量积的几何意义，知等于与在向量方向上的投影之积，又，所以只须向量在向量方向上的投影最大即可，由图易知，所以．

例2、已知在中，为直角，，．若是上的高，点在内部或边界上运动，求的取值范围．

分析与解：如图，连接，易知，，所以

向量在方向上投影的范围是，所以，从而．

2、数量积的进一步理解：

（1）当向量与方向相同时，，此时；当向量与方向相反时，，此时．特别地，有，所以．

这对于求向量模长以及距离有很好的应用．

典型例题：

例3、已知向量，，满足条件，，求证：为正三角形．

分析与解：要证为正三角形，可以证明的三条边长相等，即证明．

因为，，，

所以，

由，知，所以，

结合，有，

所以，

所以，同理可以得到，于是为正三角形．

例4、在中，角、、所对的边为、、．

证明余弦定理：．

分析与解：从定理结构上入手，涉及距离，所以想到向量的模长．

因为，所以，即．

    点评：利用向量的模长，可以有效的证明余弦定理，从证明的过程中，体现了向量运算的巨大威力．

（2）当时，向量与垂直，记作，此时．即有，对于垂直位置关系问题，均可借助向量的数量积进行处理．

典型例题：

例5、在中，角、、所对的边为、、．证明正弦定理：．

分析与解：由变形知，从式子的结构可以看到是长度与角的三角函数值之积，联想到数量积公式，可以进行类比，构造单位向量，使得，然后结合，由，即可得到证明．证明如下：

当为锐角三角形时，过点作单位向量垂直于，如右图，则与的夹角为，与的夹角为，所以由，有，即，所以，，故，即．

当为钝角三角形时，不妨设，过点作与垂直的单位向量，如右图，则与的夹角为，与的夹角为，所以由，有，即，所以，，故，即．

同理可证：，所以．

通过本例可以看到，借助向量数量积可以很方便快捷的证明正弦定理．

例6、在中，，证明：是的垂心．

分析与解：要证是的垂心，即证是的三条高线的交点，等价于证明，，．

由知，，，所以，，，即，，，所以，，，得证．

向量是证明垂直的非常有效的工具，在平时的训练中要加强应用．

（3）由向量数量积，变形可以得到向量夹角的余弦公式：，结合此公式可以求夹角的大小，注意到向量夹角，知，于是有，即，此不等式是著名的柯西不等式．

典型例题：

例7、如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半

径的圆上有两点，，求．

分析与解：结合图形易知，是向量与的夹角，联想到向量的夹角公式，有，

由条件，，，

代入有，即，

这是两角差的余弦公式，借助向量的夹角公式很容易就可以证明．

（4）向量数量积的坐标表示：设向量，，则．

①，进一步可以得到两点间的距离公式：

设，，则，所以；

②；

③；

④柯西不等式：．

典型例题：

例8、证明：对于任意的，恒有不等式．

分析与解：从不等式的结构特点可以知道，与柯西不等式结构一致，所以可以构造两个向量，，又，所以，即成立．

3、向量的其他应用：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此可用向量解决平面几何中的一些问题．

在中，其重心，外心，内心及垂心的向量表示：用点分别表示的重心，外心，内心及垂心，则：

（1）为的重心；

（2）为的外心；

（3）为的内心；

（4）为非直角的垂心．

典型例题：

例9、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型．

如图，记，，则，，

……………………①，

…………………………………②，

由①+②得，，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和．

由①②得，，即，

其几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．

三角形模式：如图，在中，为边的中点，

则 ．

此恒等式是“极化恒等式”，在高考及模拟考试中多次出现．

变式1、（2012年浙江高考理科）在中，是的中点，，，则            ．

分析与解：由极化恒等式，可知．

点评：当中线长和差向量的模为定值时，可以用极化恒等式进行求解．

变式2、（2017年全国卷2理科）已知是边长为2的等边三角形，

为平面内一点，的最小值是（   ）

   A．        B．          C．           D．

分析与解：如图，记的中点为，记的中点为，则有，，当且仅当与点重合时等号成立．

变式3、（攀枝花市2019届第一次统考试题）在四边形中，已知是边上的点，且，，若点在线段（端点、除外）上运动，则的取值范围是（   ）

（A）      （B）      （C）     （D）

分析与解：如右图，由极化恒等式知：

，

在中，在线段上运动（不包括端点、），

所以，于是．

变式4、（攀枝花市高二期末考试题）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），则的最大值为（   ）

（A）9        （B）10        （C）      （D）11

分析与解：因为为的中点，由极化恒等式知：，所以要求的最大值即求的最大值，，设，，

所以当时，取得最大值，所以．

参考文献：

[1] 李黎明．三角形重心的向量表示及其推广[J]．中学数学研究（上半月），2012（07）．

[2] 黄贤峰．三角形面积与五心的向量表示[J]．中学数学研究（上半月），2012（07）．

[3] 普通高中课程标准实验教科书数学必修4[M]．人民教育出版社A版，2004．

[4] 普通高中课程标准实验教科书数学必修5[M]．人民教育出版社A版，2004．