中心架设置嵌套有限元优化分析研究^*

孙 伏  

（陕西理工大学 机械工程学院，陕西 汉中 723001）

摘要: 细长轴磨削时，设置中心架的位置是二层嵌套优化问题，而ANSYS软件不能直接嵌套优化求解。分析出细长轴的让刀量在每段轴上呈现上凸性，内层采用了区间黄金分割法，优化出最大让刀量；外层采用ANSYS软件中提供的优化方法，优化了中心架的位置。基于ANSYS软件平台，采用APDL参数化编程，开发了区间黄金分割法有限元优化方法和中心架位置优化，实现了寻优过程自动化。以某光轴磨削为例，优化出设置一个和两个中心架时的位置。该方法可减少传统实验方法的盲目性和经验性，将仿真结果与要求精度比较，可以辅助加工工艺设计，为工艺设计人员提供依据。

关键词：细长轴磨削；中心架设置; 嵌套优化；区间黄金分割法 

中图分类号：TH164     文献标志码：A

在磨削细长轴时，合理的设置中心架可以减少弯曲变形，防止振动。为了满足细长轴的直线度等精度要求，需要控制整条轴中刀位点处的最大变形量，即最大让刀量，合理设置中心架是一种途径。在设置中心架时，传统的实验方法具有盲目性和经验性，费时费力，而有限元分析方法可以仿真分析加工变形，为工艺设计提供理论依据。因此，中心架设置就是寻求一种方案，使最大让刀量最小的有限元优化分析问题，是二层嵌套有限元优化分析。

通过传统的多维优化方法，采用ANSYS不能直接求解二层嵌套优化问题。可采用实验分析法和逐步筛选法，优化求解最大让刀量，人为再修改中心架方案，多次求解后对比。可见不能直接实现嵌套优化过程，人工干预多，操作费时，精度差。

张倍阳[1]等针对大跨桥梁中传感器的布置进行优化，提出了一种结合嵌套分区算法ＮＰ和遗传算法的嵌套层迭遗传算法。陈俊锋[2]等采用ANSYS分析对床身进行轻量化设计，借助正交试验法优化了各类筋板，初步确定了立柱筋板的布局，再通过 APDL 参数化模型，优化了主要筋板的厚度及立柱筋板间距。李基栋[3]等针对总负荷在梯级水电站间的协调分配问题，提出模型求解的嵌套优化算法，以梯级总蓄能最大为外层优化，发电量最大化为目标的短期优化计算单元为内层优化。

可见，嵌套优化问题是实际中客观存在的一类优化问题，以嵌套优化方法研究为主，在有限元分析软件中的自动实现方面文献较少。针对机械加工中的磨削细长轴时设置中心架的二层嵌套优化有限元问题进行分析研究，分析了适合在ANSYS软件中实现的方法，并通过实例进行验证。

1让刀量分析理论

磨削细长轴时，影响轴让刀量的因素包括砂轮性能、磨削力的大小和位置、磨削热、轴的材料属性、支承定位方式和振动等。这里分析两端顶尖夹紧定位，鸡心夹盘驱动旋转的加工方式下，当砂轮、工件、磨削参数确定以后，让刀量随中心架支承和砂轮位置的变化情况。

长细轴的一端采用顶尖和鸡心夹盘定位驱动，可简化为固定铰接支承，另一端采用顶尖支承方式，简化为移动铰链支承。外载荷主要是砂轮的磨削力，可分解为径向力、切向力和纵向力，纵向力主要引起轴的拉压变形，对弯曲变形量的影响甚小，而切向力主要引起扭转和弯曲组合变形，径向力会引起弯曲和剪切组合变形。假定在磨削过程中磨削力恒定，引起让刀量的力主要是径向力和切向力。设置一个中心架和两个中心架的力学模型如图1(a)和图2(a)所示。

细长轴多支承问题属于静不定问题之一。磨削时，在径向力和切向力作用下，现在根据连续梁弯曲变形理论，分析细长轴在一个和多个中心架支承下的砂轮磨削处的变形情况。

设连续梁所有支座在同一水平线上，并无不同沉陷。且设只有支座0为固定铰支座，其余皆为可动铰支座，则有几个中心架，就是几次静不静结构。在每个中间支座处截断，并装上铰链，分解为几段，相邻两段的联接点转角相同为变形协调条件；利用计算转角的公式和变形协调条件，得到中间支座n处的连续梁的三弯矩方程，光轴时为：

                       (1)

式中：为跨度左端的弯矩；为跨度右端的弯矩； 为跨度右端的弯矩; 为跨度作为简支梁时外载荷单独作用时弯矩图的面积，为弯矩图形心到左端的距离；为跨度作为简支梁时外载荷单独作用时弯矩图的面积，为形心到右端的距离。

一个中间支座有一个三弯矩方程，可联立求出中间支座处的截面弯矩，解决了静不静的问题，求解出各支座的支反力。得到整个轴的截面弯矩。

莫尔定律是计算线弹结构变形的有效工具，适用于材料服从虎克定律，且变形很小的情况。分析砂轮作用处的弯曲变形量时，分析当在该处施加单位力时的整个轴的截面弯矩，应用公式(2)计算出砂轮磨削处的让刀量。

                                  (2)

例如当采用一个中心架时，砂轮作用在图1(a)所示左侧位置时，让刀量为：

                                        (3)

当砂轮作用在右侧段时，以右侧支承为参考点进行分析，可得到与上述公式类似的结果。 在砂轮作用下，整轴上的让刀量曲线如图1(b)所示。可见在支承之间的曲线为上凸曲线。

当采用二个中心架如图2(a)所示时，分析砂轮作用处整个轴的让刀量曲线见图2(b)所示。可见曲线在各轴段均具有上凸性。  

通过力学分析可见，在中心架支承下，当磨削力一定时，在砂轮磨削处，轴的让刀量在各轴段上呈现上凸性，可根据特点来选择让刀量的优化算法。

2 优化数学模型的建立和方法选择

2.1 内层优化

对该二重优化问题，在支承方案确定时，求解砂轮作用处的最大让刀量是内层优化。

由于砂轮切削时的径向力和切向力是引起弯曲变形的主要原因，以磨削处的让刀量最大为优化目标函数，建立优化数学模型为：

                               (4)

式中：为砂轮切削位置距离轴左端的距离，为设计变量，、为磨削处的径向和切向让刀量。该问题属于一维最大化无约束优化问题。

根据上述分析，在磨削力作用下，每段轴上的让刀量曲线呈现上凸性，因此可应用黄金分割算法优化，求出每段轴上的最大让刀量。再通过各段结果对比后找到最大让刀量。

2.2 外层优化

外层优化的问题是优化中心架的位置，使最大让刀量最小。因此，设计变量为各中心架离轴左端的位置，目标函数为最大让刀量。优化数学模型为：

                                (5)

属于最小化无约束问题，维数等于中心架的个数。

3 嵌套有限元优化分析实现

ANSYS软件的标准分析对于一般的有限元分析，按照建立分析模型、施加边界条件与求解计算、结果分析的步骤进行操作是可行的，但是在优化分析时，需不断的对比修改模型，重新分析，无法操作。而ANSYS软件提供了APDL参数化设计语言，通过编程，建立参数化分析模型，自动完成有限元分析功能，扩展了传统有限元分析能力。因此通过APDL编程实现中心架设置优化过程。

首先在预处理中，设置参数并初始化，建立轴的有限元模型，设置材料属性；设置轴的约束，包括边界约束和中心架支承约束。接着进行刀位在一个轴段的优化，即用区间黄金分割法进行内层优化。每次循环，先去除所有力，再在刀位处加载磨削力的三个分量。进入求解器求解，在后处理中提取让刀量、，按照式(4)求解让刀量。反复迭代直到满足收敛精度后结束，分析出各轴段上的最大让刀量。再通过比较得到最大让刀量。存储后，生成优化分析文件。

进入优化处理器，声明外层优化的设计变量及其范围和目标函数，选择ANSYS软件提供的方法，进行中心架位置的优化，即外层优化。

ANSYS软件中提供的几种优化方法，如子问题逼近法(SUBP)、一阶优化方法(FIRST)、随机法(RAND)、等步长法(SWEEP)等。选择合适的优化方法，合理设置参数后，执行优化计算，显示和输出优化结果。

4 实例分析

选择材料40Cr的光轴，调制至235HBS，长900mm，外颈Ф30h6，要求圆度误差不大于0.005mm，直线度误差不大于0.01mm，表面粗糙度为Ra0.4μm，磨削余量为0.40mm。

工件长径比为30，磨削时易产生弯曲变形和振动，且工件的形状公差较小；工件为光轴，可在工件全长上取相同的磨削用量。选择砂轮为WA、46#~60#、平行砂轮。砂轮宽度25 mm。选择粗磨阶段进行分析，背吃刀量0.01mm，纵向进给量0.5倍砂轮宽度，工件圆周速度3~6m/min，砂轮圆周速度26 m/min。根据圆度和直线度要求，对中心架的个数和支承位置进行有限元优化分析。

建立刀位、中心架位置、砂轮处的让刀量、最大让刀量、最大让刀量位置等几个参数，各位置均以轴的左端面为参考位置。

建立有限元模型，单元类型为solid95单元，映射网格划分建立如图3的有限元模型。为了节省分析时间，半径等分段数设为4 ，长度等分段数为300，形成65561节点，14400个单元。对材料40Cr，材料属性密度7900kg/ m³，弹性模量206GPa，泊松比0.3。 

在左端面添加固定位移约束，右端面中心节点施加X和Y向零位移约束，Z向自由。在中心架作用处的节点上施加径向固定约束，每个中心架包含3点约束。

将径向、切向和轴向磨削力作用在刀位处的节点上，进行有限元求解。内层优化收敛精度设置为点距5mm，精度0.0001，外层优化以设计变量、目标函数的公差控制优化过程的收敛性，如果两次设计变量之间的差值小于设计变量的公差时，优化过程会自动停止。

图3  细长轴有限元模型  

当采用一个中心架时，中心架在区间400—600，外层优化采用等步长优化方法，搜索10次后，中心架和最大让刀量间的对应值见表1所示，优化结果为：当中心架位于511.11mm时，在磨削至279.254时达到最大让刀量为0.01445。优化曲线如图4所示。和加工要求比较，不满足精度要求，需要增加中心架。

表1 一个中心架位置优化分析结果（单位：mm）

当使用两个中心架时，中心架区间分别设在300—360和600—660，采用随机法进行外层优化，循环次数设为12，优化结果见表2，显示当左中心架位于346.51，右中心架位于642.44时，砂轮在767.847处最大让刀量达到最小值0.005181，和加工要求相比，已经达到要求。

表2 两个中心架位置优化分析结果（单位：mm）

4结论

     针对机械加工工艺中细长轴磨削加工中心架设置中的问题，探索开发了一种应用大型有限元分析软件ANSYS进行二重嵌套优化设计的方法。实例表明，与采用实验法和经验选定中心架位置方法比较，该方法经济方便，分析结果合理，对细长轴加工具有指导意义。总结该分析解决问题的方法，得出以下结论：

(1) 建立了优化设计数学模型。通过理论分析发现在中心架方案选定时，每段轴的让刀量变化呈现上凸性，内层优化采用了开发的区间黄金分割法进行优化；外层对中心架方案寻优，采用ANSYS软件中自带的优化方法，实现了中心架位置优化的自动化；

(2) 采用ANSYS软件的APDL 参数化设计语言，通过编写参数化有限元模型、调用自编的区间黄金分割法宏文件、调用软件中Design Explorer 中的优化方法，在选定中心架个数时，实现中心架位置的自动寻优；

(3) 优化结果会受到单元划分数量、收敛精度和外层优化方法以及迭代次数的影响。

(4) 在优化方法的研究过程中，外载荷只考虑了引起弯曲的主要因素，即磨削力，而忽略了轴的重力、离心力、磨削力移动和磨削热的影响。因此分析结果应带有一定的余量，进一步可以详细分析，验证分析结果。       

参  考  文  献

[1] 张倍阳，张谢东，陈卫东.基于嵌套层迭遗传算法的大跨桥梁传感器优化布置[J]. 武汉理工大学学报，2016（4）：745-749

[2] 陈俊锋，张卫 等.基于正交试验与 A P D L 的液压机结构优化[J]. 锻压技术：2011.2（36）:74—77

[3] 李基栋，黄炜斌，等. 基于嵌套优化的梯级水电站日总负荷分配研究[J] . 工程科学与技术：2017.4（49）：（增刊1）: 59-65

[4] 邓雪，李家铭，曾浩健，陈俊羊，等. 层次分析法权重计算方法分析及其应用研究[J]. 数学的实践与认识：2012.7(36):93--100

[5] 付强，王凯，任守德. 基于复杂系统演化优化的实码多目标嵌套加速遗传算法[J]. 系统工程理论与实践: 2012.12(36):2718-2723

[6] 龚曙光，谢桂兰，黄云清. ANSYS参数化编程与命令手册.北京：机械工业出版社2014.3

[7] 师访. ANSYS二次开发及应用实例详解. 北京：中国水利水电出版社.2012.2 

[8]孙靖民，梁迎春. 机械优化设计（第四版）. 机械工业出版社.2007.12

[9]庄司克雄.磨削加工技术 [M].北京：机械工业出版社，2007.

[10]张洪.细长轴尺寸误差有限元分析与补偿研究[D]. 西华大学：2014

[11] Cheol-Woo Park , Dae-Eun Kim, Sang-Jo Lee. Shape prediction during the cylindrical traverse grinding of a slender workpiece[J]. Journal of Materials Processing Technology, 1999, 88:23-32

[12] 陈章燕. 磨削力的试验研究[J].北京工业大学学报, 1990, 16(4): 98 - 102.