成本分担型两方合作博弈讨价还价过程与均衡

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摘要：针对成本分担型两方合作博弈,建立一个讨价还价的双边适应性预期模型，此模型是个二元常系数线性差分方程组。各方在合作博弈中逐轮次提出的本方分担成本是单调递增数列从而存在极限，两个数列的极限是线性差分方程组的稳态解。利用稳态解和双方讨价还价的初始条件，获得差分方程组的唯一解，揭示成本分担型两方合作博弈的过程与均衡。举例计算说明了成本分担型两方合作博弈的过程与均衡。

关键词：成本分担；合作博弈；适应性预期调整；差分方程组；均衡

  中图分类号：F0-0     文献标识码  A

一、 引言

合作博弈可以规范地刻画两个或两个以上的参加者在可供分配的总利益中竞争各自可获取利益的社会现象，两方合作博弈是其中非常普遍的一类。对于两方合作博弈，已经有“两人讨价还价”的典型问题和“纳什讨价还价解” ^[1]。也有研究建立了一个“讨价还价”的双边适应性预期模型和求解，具体给出“纳什解”的形成路径和“纳什解”的结论拓展^[2]。已有的两方合作博弈“纳什解”的形成路径和“纳什解”的结论拓展主要是针对如何解决利益共享的合作博弈问题，譬如货币互换的收益分配怎样分配^[3]。而现实生活中，还普遍存在责任共担的合作博弈问题。在这一类合作博弈问题中，各个参加者是为在需要共同承担的总责任中各自尽可能少承担责任而博弈。譬如对于污染防治问题、环境修复问题等等。可以把这一类合作博弈问题称为成本分担型合作博弈问题。对于成本分担型两方合作博弈问题，也可以建立一个“讨价还价”的双边适应性预期模型和求解，一般性地解释合作博弈达成均衡的过程与结果，并且阐明“纳什解”是这样一个模型在符合“纳什公理”特别情形下的解。

二、 成本分担型两方合作博弈的双边适应性预期调整模型

在成本分担型两方合作博弈问题中，双方在一个合作项目中需要共同负担的总成本为，双方为使本方分担尽可能少的成本而合作博弈“讨价还价”。两方分别以方、方表示，博弈中的每方策略就是提出的本方分担成本。可以假设讨价还价的次序是首先由方初始提出本方分担成本，然后由方初始提出本方分担成本，那么由于双方初始提出的分担成本之和小于总成本，无法达成均衡，所以双方对本方初始提出的分担成本进行调增，重新提出策略；再由方提出第1次策略，然后由买方提出第1次策略；…,照此逐次进行下去。 方、方分别第n次提出本方分担成本，，形成双方对于本方分担成本逐次调增过程，是一个合作博弈“讨价还价”过程。如果反过来，将合作博弈的次序改为每次先由方、再由方提出本方的分担成本，完全不影响合作博弈的结果。一般情形下，方、方的逐次提出的本方分担成本形成两个相互关联的无穷数列，，合作博弈最终达成均衡对应着这两个数列收敛。于是，需要建立一个模型来归纳和提炼由合作博弈“讨价还价”所形成这两个策略数列，证明这两个数列收敛并且两个收敛值之和等于总成本，从而使合作博弈达成均衡并且具体给出路径。

方、方双方“讨价还价”合作博弈是各方对于本方分担的成本进行适应性预期调整的过程。经典的适应性预期模型当中只有一个主体，这个主体根据自身预期状况与实际状况之间的差距，不断调整自身预期。因而调整的内容是自身预期状况；调整的参照物是实际状况^[4]。而在两方合作博弈“讨价还价”中，有方、方两个主体，因而是双边的适应性预期调整，调整的内容是本方策略也就是要求分担的成本。由于双方实际分担的成本是此长彼消的，于是一方必须根据对方提出的分担成本来调整本方提出的分担成本，因而调整的参照物只能是对方提出的由本方分担成本。假如要完全适应对方提出的由本方分担成本策略，那么买方第n次提出的分担成本就应当是；方第n次提出的分担成本就应当是。所以，这里建立一个双边适应性预期模型来表示两方合作博弈的调整策略过程。

  n=0,1,2,3,…（1）

    模型中，称为适应系数，在此分别表示方、方对于本方策略向适应对方策略调整的幅度，反映了向对方妥协的程度。如果一方的适应系数为0，表示完全坚持本方策略而丝毫不向对方妥协。如果一方的适应系数为1，表示完全向对方妥协而接受了对方策略，应当排除这种情形。假如有某方的适应系数小于0，则意味着此方下一轮次提出的分担成本更少，那么双方提出的分担成本更小于需要分担的总成本，就不可能成交，因此也排除这种情形。合作博弈“讨价还价”持续进行的原因是在各轮次双方都不能够完全适应对方提出的分担成本策略。所以，确定在模型中适应系数的取值范围限定在：

           （2）

顺便指出：适应系数，分别是方、方自身的秘密，只是由本方使用的参数，对方并不知晓数值。

     三、 两种特殊情形的两方合作博弈收敛

两方合作博弈的一种特殊情形是：有一方坚持本方初始提出的分担成本始终不肯让步,而另一方希望达成总成本分担的结果而只能够单方面让步，在合作博弈中逐次妥协,最终两方以始终不肯让步的那一方提出的方案分担总成本。这是讨价还价的双边适应性预期模型式（1）退化成为单边适应性预期调整的一种特殊情形，可以在模型式（1）中以始终不肯让步的一方的适应系数取0并且另一方适应系数取1来说明。譬如是方始终不肯让步而丝毫不向方妥协，这种情形下方的适应系数=0。而方希望达成总成本分担的结果，在合作博弈中逐次妥协, 适应系数。这种情形下，式（1）具体成为：

      当=0并且   （3）

根据式（3）方逐次提出的本方分担成本形成的无穷数列单调递增并且有上界，于是根据数学中单调有界数列极限存在定理，数列有极限存在^[5]。对式（3）中的第一式取极限得到，即从理论上说方逐轮次提出本方分担成本向收敛；最终方、方分别分担成本和。而实际的两方分担成本则是由方、方各自可以接受的分担成本误差，所确定。譬如说，当方某轮次提出的分担成本与方要求其分担成本之间的差额不大于方可以接受的误差，则方就同意分担成本加上此差额；方分担成本为减掉此差额。

同样道理，如果方始终不肯让步，而方希望达成总成本分担的结果，则从理论上方逐轮次提出本方分担成本向收敛；最终以方、方分别分担成本和。

两方合作博弈的另一种特殊情形是双方的适应系数之和恰好等于1。即

                （4）

在这种特定条件下，将式（1）中两式取n=0相加并将式（4）代入，得到：

      （5）

也就是说，只经过一次讨价还价双方提出的分担成本之和就恰好等于需要分担的总成本，因而合作博弈达成均衡。这是因为恰巧在讨价还价中方、方双方的适应系数是互补的。这种特殊情形几乎就是“一拍即合”。

     四、 一般情形合作博弈的双边适应性预期调整均衡的唯一性

   成本分担型两方合作博弈的一般情形是双方都不完全向对方妥协，但是又得考虑对方的要求而都对本方提出的分担成本逐次调增。所以，双边适应性预期模型式（1）双方的适应系数都大于0小于1。即：

     并且  （6）

合作博弈中有一个重要概念是谈判破裂点。对于成本分担型合作博弈，谈判破裂点是方、方最多愿意分担的成本和。假如合作博弈的结果要使某方分担的成本超过其最多愿意分担的成本，则合作博弈不可能达成均衡。于是，成本分担型合作博弈有解的一个必要条件是：

         （7）

   对于一般情形，将式（1）稍加变形，成为：

n=0,1,2,3,…  （8）

因为双方都考虑对方的要求而对本方提出的分担成本逐次调增，所以方、方的逐次提出的本方分担成本形成的数列，都是严格单调递增的，并且分别不可能超过本方最多愿意分担的成本和。这表明，，都是上方有界的单调递增数列。于是，根据数学中单调有界数列极限存在定理，数列和都有极限存在，因而都向其极限收敛。将它们的极限分别记为和，于是有：

  （9）

另一方面，根据差分方程组理论，适应性预期模型式（8）是一个二元常系数非齐次线性差分方程组。根据差分方程组的稳态解的定义，对于所有的n而言，当，分别取和，就能够使，分别也取和，所以数列的极限和数列的极限是差分方程组式（8）的稳态解^[6]。

在式（8）中令和, 再将得到的两式相加 ，得到：

       （10）

式（10）表明，由于在合作博弈过程中方、方提出的分担成本分别向和收敛，因而双方提出的分担成本之和趋向于等于需要分担的总成本，于是，能够从理论上保证成本分担型合作博弈趋向于达成均衡。

差分方程组式（8）的稳态解和是一个特解。根据差分方程组的一般理论，可以由特解和以及将式（8）去掉常数项后的常系数齐次线性差分方程组的通解，获得常系数非齐次线性差分方程组式（8）的通解。为此，先求式（8）去掉常数项后的齐次差分方程组的系数矩阵的特征值。很容易解出两个特征值和。

   （11）

将两个特征值代入常系数线性差分方程组的通解的一般公式，可得到非齐次线性差分方程组式（8）的通解。再根据这个差分方程组有初始值，，利用得到的通解和特解，，得到常系数非齐次线性差分方程组式（8）有初始值，的唯一解: 

        n=1,2,3,…  （12）