从一道小学奥数题谈起的空间划分问题

湖南省长沙市明德中学 410004  黄志海

云南师范大学附属中学 650106  周文颖

摘要：数学的发展往往都会经历着从特殊到一般，从低维到高维的变化.如果我们能够把一些简单的、特殊的问题推广到更为一般的情况，就可以更好的培养学生思维的敏锐性与发散性；而且这种由点到面的拓展会让知识内容更加完备，更符合我们碰到的实际情况；从解决简单问题，到自己“创造”更为复杂的问题，到最后再解决自己“创造”的问题，从而对数学思维进行一次深度的洗礼与升华.

关键词：  切蛋糕 平面  空间  划分

题目：在一次聚会上，一共有个来宾，只有一个大型蛋糕，要求只能竖着切，不能横着或斜着切，请问至少需要切多少刀才可以保证每人一块蛋糕？不考虑每一块蛋糕的大小.

对于大多数人来说，这道题目下手比较难，因为这是一道应用题，不能够直接利用我们的数学知识来解.而应用题的关键就在于找出对应的数学模型，把应用型问题转化成纯数学问题来解决.看完上面的题目后，如果我们能够联想到这样一个数学问题：要把一个平面分为块，至少需要多少条直线？相信很多人都能够很快的给出解答.

所以这个题目，就是在考察我们知识迁移的能力，能够把直线分平面的知识应用到切蛋糕问题。请看下图：

当时，最多把蛋糕分为块

当时，最多把蛋糕分为块

当时，最多把蛋糕分为块

…

当时，最多把蛋糕分为块

   所以只要找一个最小的使得，即，经验证当

时满足要求，即最少需要刀，可以将蛋糕切成块.

拓展1：

   如果我们将这个题目再改编一下: 在一次聚会上，一共有个来宾，只有一个大型蛋糕，既可以竖直切，又可以横向水平切，请问至少需要切多少刀才可以保证每人一块蛋糕？不考虑每一块蛋糕的大小.

可以这样来考虑这个问题，竖直方向切还是按照上面的方法，水平横向切，每切一刀都会增加相同的数量，比如当竖直方向切刀后，再水平横向切，每切一刀都会增加块蛋糕。所以如果假设竖直方向切刀，水平横向切刀，那么得到的蛋糕块数应该是：

. 要解决此问题，只需求满足的自然数、，且使最小即可. 不妨设，，，则问题等价于在的条件下，求的最小值.

由，可得.

对任意，当时，；当时，考虑函数，因为，，所以在上单调递增. 令，由，得. 结合单调性，可知函数在单调递减，在单调递增. 故，所以.

接下来对双元整数的的取值问题，进行一一验证：.

对，，当时，；当时，； 

当时，；当时，；当时，. 以上均满足.

综上可知，当，即最少需要切刀将蛋糕分成2010块.

拓展2：

如果再将这个切蛋糕的要求更随意一些：在一次聚会上，一共有个来宾，只有一个大型蛋糕，不仅可以竖直切、水平横向切，还可以以任意方向任意角度斜向切，请问至少需要切多少刀才可以保证每人一块蛋糕？不考虑每一块蛋糕的大小.

这一个问题显然比前两个问题复杂很多，因为切的方式太随意了，以至于我们找不到一个规律，但是如果将这个问题再进行知识迁移，转化到一个纯数学问题来解决，那就简单的多了.如果将这个蛋糕看成一个空间，每切一次看成一个截面，就可以将这个问题转化到空间中的个平面最多可以将空间分成几个部分的纯数学问题了.

令第个平面最多将空间分成个部分，第个平面与前面个平面最多有条交线，这条交线最多可以将第个平面分成个部分，而每一个部分把对应的空间一分为二，所以每一个部分都会使得空间增加个部分。所以得：，而，累计求得：

由，尝试可求得即可，所以只要切刀即可将蛋糕分成块.

     从“竖直切”到“竖直切、水平切”再到“任意切”，通过切蛋糕这个背景把直线分平面，平面分空间的问题紧密联系起来，这种问题串不仅更具有趣味性，而且更符合我们思考问题的逻辑。通过这种递进式的问题，不断建模解模，逐渐将这个划分问题一般化.