以排列组合思想求高维锥体体积

王琦

（四川师范大学附属中学，四川 成都   610000）

摘要：在坐标轴上，将多维锥体体积转化为点集，并从排列组合的角度将其变为组合的一种情况，越过了从三维空间形态到高维空间形态过渡过程中难以理解的抽象门槛，以一种较为简单的方式去求解高维锥体的体积，使之具体化为一种数形关系，对于加强自身对于高维空间的抽象理解也有作用。

关键词：高维锥体体积；排列组合；数形转化

Use the Idea of Permutations and Combinations to Solve the Question About the Volume of High-dimensional Pyramid

Wang Qi

(The Middle School Attached to Sichuan Normal University,Chengdu 61000,Sichuan,China)

Abstract:On the axis, change the volume of high-dimensional pyramid into the shape of point-group, and turn it into a condition of combination in the angle of permutations and combinations. It can cross the high threshold of imagination, the transition stage of changing the three-dimensional form into the higher-dimensional form. It makes a simple and direct way to solve the question about the volume of high-dimensional pyramid. Let the form of numeric-pictured connection, which has a function to strengthen a feeling about the understanding to the abstract higher-dimensional space.

Key words:permutations and combinations,the volume of high-dimensional pyramid,numeric-pictured connection

1   高维锥体体积普遍化

首先，为了尽可能使锥体的多样性转化为普遍性，需要将多维体转化为多维正方体，而由于由低维几何体通过在另一个维平移成为高维几何体时，都是在低维几何体上扩展出了一个维度，然后在这个维度上进行几何体的平移，使其体积所处的维度也由低维转向了高维，因而一个低维几何体如果只在高维上拓展，对其原低维体积是毫无影响的，而高维柱体的体积公式也就为，其中表示高维几何体的体积，表示高维棱柱中体积相等，位置在高维上相互平行低维几何体的体积，表示低维几何体在与高维几何体相比缺少的维度上垂直拓展的长度，而一个高维斜棱柱的体积公式也就有了，，即为此斜棱柱在各个维度上垂直拓展的长度之积。根据祖暅原理，当两个几何体在同一低维面的截面处处相等时，则其体积相等。而根据相似，只要高维锥体的和相等，那么其在与底面平行的截面大小会随与其顶点的垂直距离成正比，所以它们的体积就相等。现有一个二维和三维锥体，为了让它们与直角坐标系相适应，从而找到直角边并与数轴相联系，于是需要在使其体积不变的情况下将其转化为直角体，从而与直角点集系相配合，同样的，高维几何体也可以这样转化。

2   建立标准高维直角坐标系

将其在体积不变的前提下顶点平移成直角体之后，再将其各直角边通过变换，使各直角边通过比例变换之后成为等长直角边，假设边长为m，这时再假设一个边长为m+1的正方体，选择其一个顶点，并以顶点为原点，将包含了此顶点的棱作为坐标轴正轴建立坐标系，又因为两棱之间必相互垂直，所以所建系为直角坐标系，给不同的坐标系上赋值分别赋值（），（），（）…且a=b=c=…而正方体上的任意一点都可以表示为（a，b，c，…），如果将所得直角体直角边与正方体棱相重合对应，则发现其直角面都可以表示为两个不同的点集组合出的所有情况，由此联想，一个高维正三角体体积是否为坐标轴上高维正方体点集（），（），（）…组合所有的可能。

3   以排列组合思想转化锥体体积

转换思路，探究将一个立方体根据组合规律分离得到的点集体积与原直角三角体点集体积之间的关系。由于在平面上，组合中对于两个数的排列顺序无要求，那么任意两个数的排列只能算一种情况，而在两个轴上可以做出划分它们不同组合的平分线，它们构成的点集为（），（）…将其舍去，留下两个切割出来的三角面，每一个都可以表示为全集（）和（）上任取两点组合的所有可能，而其不同在于排列顺序不同。同理可以拓展到更高维上去，任意两条坐标轴平分线上的点皆不取，因为取得的点坐标里只有重复的数，它在高维度中某两维组成的平面上的截面处处为一条直线，也就是所截体积与原高维几何体不在同一个层面上，体积可以忽略不计，何况如果算入体积对于被截开的两个体积的大小比较没有影响，且对于分割不利，因此舍去，那么组合的数还要满足不相等这一条件。又因两个坐标轴上假设的坐标和方向皆由原点出发，所以这些平分的平分线皆以原点为起点，平面对顶点为终点，而这些角平分线也不仅仅切割了这一平面上角平分线上的点，还把对平面投影皆在平分线上的点都切去了，如（1,1,2），（3,4,3,6）等，因而它切割的不仅仅是一条线，对于一个n维几何体来说，它切割的是一个n-1维几何体，当然体积仍可以不计。而其切割下来的图形，都有一条线段，这条线段上x=y=z=…，也就是以原点为起点，高维几何体原点对顶点为终点的一条线段，假设此为中心平分线，而其在由两条坐标轴所构成的平面上的投影，都是需要舍去的角平分线，而其切割后所得的几何体，都分别是所求的组合可能。由低维正三角体向高维探讨，已经分隔开的正三角体已是一个n-1维三角体，新增加了一维，两两坐标轴之间的组成的平面就会增加n-1个，那么中心平分线在新增平面上投影产生的平分线就会增加n-1条，由于中心平分线在n-1维锥体的边界上，因而也在n维柱体的边界上，而高维化后多增加的n-1个切割处都经过中心平分线，那么这几条切割线都会交于于边界上同一处，因而这n-1条平分线将拓展后的几何体分成了n块，又由组合规律可以得出，这几块几何体是必定被平分的，每个体积所包含的点都表示为坐标轴上不同数值的点组合形成的可能，而他们之间的区别就在于它们内部的点集排列方式的不同。

4   得出公式

分割后三角体其在各个维度上的长度都为n-1，与正三角体相同，而这两个立方体所有顶点数也是相应n维几何体所能有顶点数的最小值，所以不存在有多余的点给几何体制造一块多余的体积，再根据祖暅原理，与相似，底面截面和高都相等，因而其体积相等，再通过比例变换，等体积变形，由此可以推出锥体，当且仅当低维几何体到高维锥体只拓展了一维，由高维再逐步回推，则可以推出，其中d只为选取一点为原点建立直角坐标系时，非相邻两顶点在某一坐标轴上的垂直距离，且所选维度不重复，非相邻点只有一个，若无相邻点时，则为沿坐标轴平行线与几何体边界的距离。

5  例题

5.1已知一个五维锥体，其对顶点在不同维度上的距离为3,4,6,8,10，那么其体积为多少？

解；

5.2已知一个不断在更高维上拓展的长度的锥体，第n次拓展后体积都满足，那么求其第n-1次拓展时在n维上拓展的长度d。（m为米）

解；因为第n-1次拓展时体积为。

所以。

所以d=nm

6   结束语

高维空间目前对人们来说是一个简单却难以想象的概念，而这个侧面推导的过程，是希望尽可能从熟悉的角度入手来针对抽象问题，像约瑟夫-埃米尔·巴比埃面对布封的投针问题一样，用思维替代过程，使之更加简洁，同时提高对抽象问题的认知能力。