图1中A、B点分别是滚珠与丝杠、螺母滚道的接触点，F是轴向工作载荷， F_t是切向载荷，F_r是径向载荷，是接触角，是螺旋升角，通过分析可知：点A处法向载荷为：                                                                                     (1.1)

 在不考虑外界受力，且假设工作载荷分布均匀的情况下，滚珠由于变形产生轴向弹性位移^[2]。系统在法向载荷作用下，参考资料^[3]可知：由于作用力而引起螺母与丝杠两个滚道面之间的弹性变形量δn为

         (1.2)

其中：表示滚珠在丝杠滚道内因接触受力而引起的变形量；表示滚珠在螺母滚道内因接触受力而引起的变形量；，表示丝杠、螺母面内滚道的主曲率之和；、表示与接触椭圆参数有关的丝杠与螺母滚道面的法向弹性接触变性量和滚珠与螺母滚道面的接触弹性变形量^[3]。

在轴线方向上，由于受力，螺母相对于丝杠存在轴向位移δa，螺母与丝杠滚道面的法向弹性位移δn，由受力分布图可知：两者的关系公式为：

                           (1.3)

螺母受到的轴向推力为:                               (1.4)              

    式中：表示单个滚珠受到的法向载荷；

   由公式(1.3)、(1.4)可得：

          (1.5)

    其中，δa表示系统轴向弹性位移。

    为了计算画图方便，用来替代轴向接触刚度。因此，根据公式(1.5)，运用MATLAB可得：β对轴向接触刚度的影响见图2：

  图2  接触角对轴向变形的影响

在0-90°之间，随着β的变大，不断减少。当β在40º附近，变化比较平缓。因此，在选择接触角时，在一定范围内可以适当的增大接触角，这样能够有效的减小机构的变形量，提高工作加工精度，为生产更好的产品创造可能。

2 接触角对某滚珠丝杠副接触刚度影响的分析

轴向接触刚度是通过对上式(1.5)进行求导得出：

             (1.6)

根据公式（1.6）作出曲线图如3所示：

   图3  接触角对轴向刚度的影响

由图3可知：β在20º到80º之间，Ka不断发生变化。随着β的增大，Ka不断下降。从陡峭程度上看，整体陡峭程度相差不大。接触角小于40º时，减小的程度相对大一点，大于40º时，减小的程度相对小一点。因此，在选择β时可以适当取的稍大一点，这样对机械系统的承载程度很有益处，增强系统的稳定性，但同时也带来不好的结果，过大的接触角不但使其刚度下降，而且对工作加工增加复杂度。综上可知：需要考虑多方面因素选择合适的接触角。

3 接触角对某滚珠丝杠副滚珠螺旋比影响的分析

    通过运动学研究可知：因为接触角的影响，滚珠不但沿着运动滚道运动，而且存在对润滑油膜的生成的自旋运动，自旋运动与摩擦力矩有关，它是绕着接触点旋转的。当把螺旋升角看作0时，滚珠丝杠的运动和角接触轴承的运动类似。所以，我们可以根据轴承的自旋运动对其进行分析。

   滚珠的自旋运动角速度与滚珠角速度的比值简称为滚珠旋滚比，的值越小，则自旋运动情况越微小^[4]。

建立活动坐标系，如图4，则滚珠在螺母滚道处的为：

                 (1.7)

                                                 (1.8)                                 

                 图4  活动坐标系

根据上述（1.7）、（1.8）两个公式编程：

程序如下：

function jiechujiao2()

x=0:0.1:85;

db=14.288;

d=45;

t=17.5;

y=abs((-1-db./d.*cos(x.*pi./180)).*tan((x-1.8*t).*pi./180)+db./d.*sin(x.*pi./180));

plot(x,y,'k'), axis([0,85,0,1]),xlabel('β'),ylabel('')

由上述程序计算绘出β对的影响曲线，如下图5所示。

从图5可以看出：β对值变化影响非常大，在β<41º时，随着β的增大，逐渐减小；在β>41º时，随着β的增大，逐渐变大；当β=41º时，达到最小，此时达到最优值。

综合以上计算可知：接触角β对此种滚珠丝杠副的影响归纳如表1。

               图5  接触角β对滚珠旋滚比的影响

表1  β对某滚珠丝杠副性能的影响描述

所以，综合以上接触角β对轴向接触变形（δa）、轴向接触刚度（）和滚珠螺旋比（）的影响，初步确定该滚珠丝杠副最佳接触角为41º。

4 常用接触角与初步确定最佳接触角寿命与效率的对比

   通过查阅滚珠丝杠副标准GBT 17587.1-1998，得到滚珠丝杠副额定寿命和效率的计算公式。

   滚珠丝杠副以转速计的额定寿命：

                                                      (1.9)

    以转速计的额定寿命：

                                                        (1.10)

工作效率：

                                   (1.11)

式中，为轴向额定动载荷；为当量轴向载荷；为当量转速；为螺旋升角；为接触角。

根据DS4716型号滚珠丝杠副的参数代入公式，对比常用45°接触角和初步确定的接触角下滚珠丝杠副的额度寿命和工作效率，如表2。

表2  不同接触角下额定寿命和工作效率的对比

通过上表可知： 初步确定的41°接触角比常用45°接触角的额定寿命长2900 h,工作效率提高1.8%，因此得出DS4716型号滚珠丝杠副的最佳接触角为41°。

5 结论

（1）提出了一种简易设计计算方法，用来对滚珠丝杠副受力、运动、应力、应变、接触刚度等参数进行分析计算。

（2）运用MATLAB工具画出接触角β对轴向接触变形、轴向接触刚度和滚珠螺旋比的影响曲线图，为初步确定接触角提供理论依据。

（3）通过对比常用接触角和初步确定的接触角下滚珠丝杠副的额度寿命和工作效率，得出DS4716型号的滚珠丝杠副最佳接触角为41°。

[参考文献]

[1] 许向荣. 滚珠丝杠副直线导轨进给单元动态性能研究[D]. 济南:山东大学, 2011.

[2] 姜洪奎.大导程滚珠丝杠副动力学性能与加工方法研究[D].济南:山东大学，2007

[3] 陈晶晶.滚珠丝杠副性能测试平台及轴向静刚度的研究[J]. 东南大学学报, 2010.

[4] 张佐营. 高速滚珠丝杠副动力学性能分析及其实验研究 [D]. 济南: 山东大学, 2008.