中国工程机械学报稿件信息
风洞捕获轨迹试验六自由度机构运动学与误差分析
贾 波1；宋代平1；全先轲2；姜安林1；
1. 重庆大学机械传动国家重点实验室, 重庆 400044；2. 佛山美的集团公司, 佛山 528311
摘要：为提升风洞捕获轨迹试验的水平，设计了一套模拟外挂物从母机分离运动轨迹特性的六自由度机构。通过D-H法进行运动学分析，建立该机构运动学方程，利用解析法对机构进行逆运动学求解。采用微分传递法建立基于D-H参数的静态误差模型，推导出末端外挂物模型位姿误差与D-H参数误差之间的数学表达式，然后采用奇异值分解改进的最小二乘法进行迭代求解辨识出参数误差，在此基础上随机选取100组位姿数据，分析比较了补偿前与补偿后的位置误差，结果表明经过参数辨识后的补偿法能够有效地提高六自由度机构末端的定位精度。
关键词：六自由度机构；D-H参数法；运动学；误差模型
中图分类号： 文献标识码：A
Kinematics and Error Analysis of
6-DOF Mechanism in Wind Tunnel Captive Trajective System Test
JIA Bo1 SONGDaiping1 QUANXianke2 JIANAnlin1
1. State Key Laboratory of Mechanical Transmission , Chongqing University, Chongqing 400044
2. FoShan Midea Group, FoShan 528311
Abstract: In order to improve the research ability of wind tunnel capture trajectory test, a 6-DOF mechanism is designed to support the external model. Firstly, Kinematics analysis of 6-DOF mechanism is carried out by using the D-H parameter method and the kinematics equation was established, the mechanism of inverse kinematics is solved by using the analytic method . Secondly, the structure of transmission error model were established by using differential method based on 6-DOF mechanism of D-H parameters, mathematical expression was deduced to store end pose error and kinematic parameter errors, then by using singular value decomposition least squares method improved, the parameters of errors were iteratively identified, on the basis, 100 groups of position data were randomly selected, the position error before and after compensation were analyzed and comparied. The results show that the compensation method of parameter identification can effectively improve the positioning accuracy of the 6-DOF mechanism.
Key words: 6-DOF mechanism；D-H parameter method；kinematics simulation；error model
0 引言
风洞作为国家航空飞行器研制的重要试验设施。为进行捕获轨迹试验，模拟实际情况下外挂物的分离特性，需研制一套六自由度机构以支撑外挂物模型，要求行程更大，承载能力更强，而现有的机构已不能满足研制大型航空飞行器的需要。分离母机的初始阶段外挂物将受到复杂流场的干扰，其分离的运动特性与在稳定流场中存在很大差异。因此，必须研究外挂物分离后的运动轨迹特性，评估对母机本身的安全性和可靠性，为分离参数的控制提供重要依据【1】。
六自由度机构误差来源复杂，误差模型以及分析方法多样，黄勇刚等【2】采用矩阵力法分析了平面机构的误差运动；RAUF A【3】等利用由机械装
置产生的运动约束，构造了机构的误差模型；裴保青等【4】利用基于运动学逆解的矢量误差法构建了机构误差模型，谢福贵等【5】利用基于空间误差矢量链的误差建模方法，获得一种新型虚拟中心并联机构的误差模型。本文利用解析法求得机构正逆解，利用齐次微分变换矩阵对六自由度机构的运动误差进行误差建模，采用奇异值分解改进的最小二乘法求解辨识出参数误差，提出了综合误差定义并通过实例比较了补偿前与补偿后的位置误差。
1 六自由度机构结构组成
六自由度机构结构示意图如图1所示。
图 1机构结构示意图
Fig 1 Schematic diagram of mechanism
1-X向机构，2-Y向运动机构，3-Z向运动机构构，4-偏航机构，5-俯仰机构，6-滚转机构
为方便运用D-H法建立坐标系简化机构运动简图，将Z向平行四边形多杆机构简化成最终实现Z向移动的运动副，建立六自由度机构D-H坐标系如图2所示。
图2六自由度机构D-H坐标系
Fig 2The D-H coordinate system of 6 DOF mechanism
2 运动学
2.1运动学正解
六自由度机构的运动学正解是已知各关节驱动输入量，求末端外挂物模型位姿的输出量。各关节变量如表2.1所示。
表1 六自由度机构D-H参数
Table 2.1 The D-H parameters of 6 DOF mechanism
|
1 |
-90° |
0 |
-90° |
d1 |
|
2 |
-90° |
a1 |
90° |
d2 |
|
3 |
90° |
0 |
-90° |
d3 |
|
4 |
0° |
a3 |
θ4（0°） |
0 |
|
5 |
90° |
a4 |
θ5（90°） |
0 |
|
6 |
-90° |
0 |
θ6（0°） |
0 |
|
7 |
0 |
0 |
0 |
d7 |
式1表示的是六自由度机构的变换矩阵 ，描述了末端坐标系{O7}相对于基坐标系的位姿。
(1)
两边矩阵每个元素分别对应相等，得
(2)
2.2运动学逆解
六自由度机构运动学逆解是在已知外挂物模型位姿的情况下，求各个自由度关节变量。对于机构运动学逆解，往往具有不唯一解或者无解。六自由度机构逆解采用解析法，根据矩阵逆乘求解六自由度机构运动学逆解【6】。求得六自由度机构的3个位移量与3个角度量：
(3)
3 误差分析
3.1机构静态误差建模
通过齐次微分变换矩阵对六自由度机构的运动误差进行建模【7】。该机构为开环，运动具有递推性，运用微分传递法对机构进行位姿误差分析【8】。齐次变换矩阵Ai表示任意两个相邻连杆i-1与i坐标系之间的转换关系，取决四个参数
、
、
和
，Ai是关于参数的函数关系矩阵， 计算得到关于参数的误差变换矩阵
(4)
建立了任意相邻连杆坐标系的位姿误差描述，接下来考虑基坐标系与末端坐标系之间的位姿误差描述，机构末端位置与姿态误差分别为
(5)
(6)
式中
，
，
，
将式5和式6整理成雅克比矩阵形式为
(7)
式中，
为位姿误差雅克比矩阵，
为运动学参数误差。
3.2机构误差参数辨识
机构误差参数辨识是指由实验测得或采用某类算法计算得到实际运动参数的过程【9】。由于各种因素的影响，导致机构参数的实际值与名义值是有偏差的。第i关节的位姿误差
(9)
式中，
为误差系数矩阵，
为几何参数误差。
关节总误差e
(10)
六自由度机构参数辨识采用奇异值分解（SVD）改进的最小二乘法进行求解，此方法具有迭代简单、计算时间短、收敛速度快的特点。
求得最小二乘法最优解为
(11)
其中， 
、
为正交矩阵，有
，
，
，
，
为奇异值，r=rand(J)，J是
矩阵，m表示测量所建方程数，m=3N，N为测量点数。
求解非线性方程组采用迭代方式，寻找近似解，设置能反映参数精度与运算精度的阈值
，误差容限值取
。迭代运动学参数辨识的流程图如图3所示。
图 3迭代结构参数辨识流程图
Fig 3 Flow chart of iterative structural parameter identification
根据辨识流程图，由MATLAB编程计算求解得到位置误差辨识后的运动学误差参数，见表2所示。
表 2辨识后的运动学误差参数
Table 2 Kinematic error parameters after identification
|
关节i |
|
|
|
|
|
1 |
-0.0892 |
0.0062° |
0.0653 |
0.035° |
|
2 |
0.0001 |
-0.0011° |
— |
-0.0072° |
|
3 |
— |
0.0089° |
— |
0.0081° |
|
4 |
0.48 |
-0.0275° |
0.0973 |
-0.0075° |
|
5 |
-0.3390 |
0.0257° |
— |
0.0101° |
|
6 |
— |
-0.031° |
-0.3846 |
— |
|
7 |
— |
— |
— |
— |
误差补偿是在误差辨识的基础上修正六自由度机构的运动学模型，更接近实际模型，达到减小末端位置误差的目的【10】。综合误差定义为
，补偿前后综合位置误差如图4所示。
图 4补偿前后综合位置误差对比曲线图
Fig 4 Comparison of comprehensive position error before and after compensation
绘制X向、Y向和Z向位置误差统计直方图，如图5~7所示。
图5 X向位置误差统计直方图
Fig 5 Histogram of X-axis positional errors
图 6 Y向位置误差统计直方图
Fig 6 Histogram of Y-axis positional errors
图 7 Z向位置误差统计直方图
Fig 7 Histogram of Y-axis positional errors
从概率角度出发，统计直方图矩形面积表示为位置误差分布在误差区间的概率，补偿后各向位置误差分布在[-1,1]区间内的概率明显大于补偿前的各向位置误差，基本符合精度设计指标要求。因此，结果表明该方法能够有效提高六自由度机构末端的定位精度。
4 结论
（1）本文以风洞捕获轨迹试验的六自由度机构为研究对象, 对其进行了运动学分析。根据六自由度机构的自身结构特点，采用D-H法建立连杆参数，推导得出了运动学正解方程。（2）针对六自由度机构逆运动学求解问题，采用解析法求解机构运动学逆解。（3）利用微分法建立六自由度机构几何误差参数模型（4）进行误差的参数辨识，采用奇异值分解改进的最小二乘法进行求解，设计迭代流程图与程序，直到满足精度要求时为止。（5）将辨识后的参数误差值，代入误差模型计算，比较辨识前后位置误差，结果分析得到采用此方法可降低机构误差，能够提高机构末端的定位精度。运动学分析和误差分析可以用于六自由度机构的精确定位和运动规划，为实现六自由度机构的运动轨迹规划及实时控制等提供了理论基础。
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