棉花期权定价研究——基于Black-Scholes模型

新疆财经大学 诸兴鹏

摘要：2018年以来，棉花价格持续上涨，使得以棉花为原材料的棉纺织企业需要承担巨额的棉花价格波动风险，生产成本增加，利润难以得到保障。因此对于期货期权作为风险转移工具进行套期保值的需求加大。文章运用期权规避风险时的风险转移路径进行研究，并基于Black-Scholes模型进行棉花期权定价研究，得出3个月欧式看涨期权期权费，并以蒙特卡罗模拟法对计算所得欧式看涨期权期权费进行检验。最后对Black-Scholes模型完善和期权市场发展推出建议。

关键词：商品期权 Black-Scholes模型 蒙特卡罗模拟

一、棉花期权及风险转移

2018年5月以来，棉花价格持续上涨，虽然对棉农等供给方十分有利，但对于纺织企业而言，棉花价格的上涨与波动都不利于日常生产，需要承担生产经营之外的价格风险，此外，中国进入下半年，气温逐渐下降，纺织企业也将加大棉花需求量。所以纺织企业等棉花需求方亟需一种风险转移工具转移价格风险锁定成本，保证利润。期货与期权是目前世界上最重要的两种利用金融市场规避现货价格波动风险进行套期保值的工具，与期货相比，期权具有只需支付一定期权费、盈亏曲线非线性、了结方式更灵活等特点，可以更好地作为棉花需求方转移风险的工具即纺织企业向期货公司购买场外看涨期权将棉花价格波动风险转移给期货功能，期货公司出售期权后可以在期货市场进行复制期权操作将价格波动风险转移进金融市场。

期权指期权购买者向期权出售者支付一定费用获得在将来某个时间以一定价格买进或卖出某种资产的权利，可分为看涨期权和看跌期权。以期权行权时间可分为美式期权和欧式期权，美式期权可以再到期日之前的任何时刻行使，欧式期权只能在到期日行使，美式期权比欧式期权更灵活。但欧式期权期权费低于美式期权，可以减少纺织企业转移价格风险成本，而且中国期货市场价格价格波动大、引发价格波动因素难以准确衡量，期货公司出售美式期权需承担更多风险，出售欧式期权也更符合期货公司利益。目前中国仅上市沪深300股指期权和白糖期权以及棉花期权，棉花期权还未上市，因此企业从事套期保值仍多使用棉花期货和场外期权。若使用棉花期货进行套期保值规避完全的价格波动风险，则需要持有与现货需求完全相同规模的头寸，这将极大占用自有资金。而使用期权进行套期保值规避则只需支付一定期权就能达到套期保值的目的。而场外期权在我国还尚处于摸索阶段，期权合约的设计、交易制度、风险管理等还需各期货公司进行不断的完善与研究，而这些内容的核心即为期权定价。

所以本文基于Black-Scholes模型对欧式棉花期权进行定价研究。

二、Black-Scholes模型

（一）模型假设条件

1973年Fisher Black、Myron Scholes和Robert Merton建立了Black-Scholes期权定价模型，以此推导出基于红利股票的任何一种衍生证券的价格必须满足的微分方程，并成功求解了该方程。Fisher Black和Myron Scholes也以此获得诺贝尔经济学奖，该项理论及其多种变形极大地推动了金融衍生品市场的发展。

该模型假设股票价格随机波动；可以卖空证券，并且可以完全使用所得收入；无交易手续费和税收，所有证券均可无限分割；期权期限内，股票不支付股息；不存在无风险套利机会；证券交易为连续进行；短期无风险利率为常数，并对所有期限都是相同的。

（二）Black-Scholes模型定价公式

其中

函数为标准正态分布的累计概率分布函数，这一函数等于服从标准正态分布

的随机变量小于的概率。为股票在时间0的价格， 为执行价格， 为连续复利的无风险利率，为股票价格的波动率，为期权的期限，C为欧式看涨期权价格，p为欧式看跌期权价格。

三、欧式棉花期权定价

（一）确定棉花连续合约波动率

因此利用东方财富网搜集2018年1月2日至2018年9月10日共170个郑州商品交易所棉花主连合约（CF9999）交易日收盘价为样本数据。对样本数据进行整理得出样本数据基本资料如下：

表格中，为棉花主连合约（CF9999）日收益率样本均值，为样本方差，为标准差即棉花主连合约日波动率。计算公式如下：

因此棉花主连合约日波动率，Black-Scholes模型需运用年波动率，以日波动率计算年波动率，我国年交易日天数为240天，所以年波动率

（二）确定连续复利的无风险利率

本文选择3个月Shibor利率（上海银行间同业拆借利率）作为无风险利率。利用东方财富网搜集2018年5月25日至9月10日3个月Shibor利率，部分数据如下：

将无风险利率近似表示为5月25日至9月10日利率的均值：

将转换成连续复利的无风险利率：

（三）确定期权执行价格

根据所选取的样本数据，标的资产现价为2018年9月10日郑州商品交易所郑棉连续合约收盘价，即。

本文设计欧式期权期限为3个月，所以，

依据Black-Scholes模型基本假定，假定标的资产（郑棉连续合约）服从几何布朗运动，可得出模型：

  或   

为标的资产价格，和为常数。

由上式模型可知，标的资产价格服从的伊藤过程。由伊藤过程，变量和的函数服从一下过程：

定义

因为

可得出，G满足

以上推导证明满足一个广义维纳过程，漂移率为常数，方差率为常数。则标的资产收益率在0至时刻之间的变化服从期望为，方差为的正态分布。即为：

由上式及对数正态分布性质，可的出期望值

将所求得的、、的值代入上式可得：

因此在95%置信度下，有

因为郑商所郑棉连续合约最小价格变动为5元/吨，所以对置信区间边界取5的整数倍，即：由此可知，标的资产价格在3个月后介于13260至21685范围内的概率为95%。

计算郑棉连续合约期望值

以郑棉连续合约期望值近似表示执行价格，同时考虑郑商所郑棉连续合约最小价格变动单位，得出执行价格。

（四）确定期权价格

将计算所得的Black-Scholes模型所需的参数年波动率、连续复利的无风险利率、标的资产现价期权期限、执行价格的值代入Black-Scholes期权定价公式，得出：

=-0.42628057

通过Excel中的函数NORMSDIST计算标准正态分布的累计函数值，得出：

由此可得，3个月欧式看涨期权价格为：

=594.6

3个月欧式看跌期权价格为：

期权的整体价值等于内涵价值与时间价值之和，内涵价值指不考虑交易费用和期权费的情况下期权立即被行使时具有的价值。期权的时间价值指期权的权利金超出内涵价值的部分，是期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。所以本文基于Black-Scholes模型所得的3个月欧式看涨期权价内涵价值为元，时间价值为594.6元。

若纺织企业等棉花需求方选择3个月欧式看涨期权规避未来3个月棉花价格波动风险，当3个月后棉花主连合约价格高于16680元时行权，反之，不行权则可将棉花最高进价锁定为每五吨16680+594.6=17574.6元。

（五）模特卡罗模拟检验

对于欧式看涨期权，可采用n步数的树形图法与蒙特卡罗模拟法检验Black-Scholes模型的正确性。本文采用蒙特卡罗模拟法检验上文中基于Black-Scholes模型计算所得的棉花欧式看涨期权价格。选用蒙特卡罗模拟法是因为这一方法既可用于当收益只依赖与标的变量S的情形，也可用于当收益依赖于标的变量S的路径的情形。衍生产品收益可能发生在期限内的若干时间点上（而不是只在期限的末尾），通过模拟衍生产品路径，对在期限内的若干时间点上的收益进行贴现即为衍生品价格，因此可用来检验提供非标准形式收益的衍生产品的定价，即可适用于Black-Scholes模型。

运用蒙特卡罗模拟检验时依旧运用Black-Scholes模型假设，即股票价格随机波动；可以卖空证券，并且可以完全使用所得收入；无交易手续费和税收，所有证券均可无限分割；期权期限内，股票不支付股息；不存在无风险套利机会；证券交易为连续进行；短期无风险利率为常数，并对所有期限都是相同的。使用蒙特卡罗模拟，首先随机地产生标的资产价格路径，并由此取得收益期望值，在对其按无风险利率r进行贴现，所得结果即为衍生产品价格。

由伊藤定理可得lnS服从

为模拟变量S路径，将期权期限分割成N个长度为的小区间，对lnS进行抽样，以表示服从N（0,1）的抽样值，上式可近似变形为

等价于               

令t=0，为每一次计算收益的时间T，则上式简化为

该方程即可用于检验Block-Scholes模型。

令和表示通过蒙特卡罗模拟计算所得收益贴现的均值和标准差。即为衍生品价值估计值，估计值标准误差为/，M为模拟次数。

衍生品价格f的95%置信区间为

若基于Black-Scholes模型计算所得欧式看涨期权价格在以蒙特卡罗模拟计算所得的95%置信区间内，则认为通过检验。蒙特卡罗模拟计算结果如下：

蒙特卡罗模拟法计算结果的精度依赖于模拟次数，而已Black-Scholes模型计算所得的欧式看涨期权价格c=594.6都在4个不同模拟次数下的置信区间内，则认为通过检验。

四、结论

本文基于Black-Scholes模型对于欧式棉花期权进行定价研究，并分析棉纺织企业等棉花需求方运用期权进行套期保值转移风险时价格波动风险转移路径。我国场内期权尚处于起步阶段，场外期权市场还有待完善，推动我国期权市场发展的关键仍是期权定价研究，因此有必要在这一方面进行进一步的探索。

由Black-Scholes模型假设条件可知，该模型假设十分严苛，与实际期货市场有较大差距，中国期货市场发展并不完善，因此有时会存在无风险套利机会，此外，根据行为金融理论，人们的预期并非保持不变。同时，当期货市场出现价格剧烈上涨，投机性加大时，政府机构会采取提高交易费用及限仓等手段减少交易灵活性抑制投机性扩大。所以，要推动期权发展，帮助农业经济主体与以农产品为原材料的企业规避风险，就还需对Black-Scholes模型进行完善，以符合中国金融市场实际的定价模型为基础设计的农产品期权才能保障各方利益，使得我国期权市场得到更快发展。

国内农产品期权仅有豆粕期权与白糖期权上市，上市时间短，发展历程与发达国家难以相提并论。以美国为例，美国是目前世界上期权运用最成熟，发展最完善的国家，早在上个世纪就已推出一系列的农产品期权，农产品期权对于保障农业发展起到至关重要的作用。反观我国，商品期权发展时间有限，因此国内对于商品期权市场的实战经验有限，国内对于农产品期权的认知还仅是西方金融市场相关理论，并没有符合中国实际的的期权理论知识。农产品期权的发展对与推动我国农业经济和以农产品为原料的制造业都具有重要意义，因此我国应加快农产品期权市场的发展进程，以农产品期货市场为基础，借鉴国际农产品期权市场，加快上市棉花期权等迫切需求的期权品种。

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