小弯曲半径下光纤宏弯损耗

的拟合方法研究

宁四平

（ 特恩驰（南京）光纤有限公司 江苏 南京 210061 ）

 

 

摘  要:新版IEC 60793-1-47 Ed. 4.0 b 2017 Optical fibres - Part 1-47 Measurement methods and test procedures - Macrobending loss 相比Ed. 3.0 b 2009版本在“附录 D小弯曲半径现象”（Annex D Small bend radius） 有较大的修订。光纤在小弯曲半径下，为消除波长相关的损耗曲线震荡现象带来的影响，提高测试准确性，本次修订推荐了多种拟合方法来拟合测试值，从中推导出在特定波长下的宏弯损耗值；并给出以浸入高折射率溶液中测试到的本征宏弯损耗值为参考，通过特定波长测量点的精度比较，选择最佳的拟合方法。本文选G.657.A1光纤为研究案例，通过对小弯曲半径下宏弯的多种拟合方法进行比较和研究，确定以1550nm和1625nm波长下宏弯的拟合精度最佳为判定尺度，作为小弯曲半径下光纤宏弯损耗拟合方法选择的思路。

 

关键词：G.657.A1光纤，宏弯损耗，小弯曲半径，本征值，规划求解，加权最小二乘法

 

Abstract: There is a major revision between the new version of “IEC 60793-1-47 Ed. 4.0 b 2017 Optical fibres - Part 1-47 Measurement methods and test procedures - Macrobending loss” and version of “Ed  3.0 b 2009” in "appendix D Small bending radius phenomena". In order to eliminate oscillations of wavelength related loss curve and improve test accuracy under small bending radius, various fitting methods are recommended in this revision to fit test values, from which the bending loss value under specific wavelength is derived. And Based on the precision of measuring point of specific wavelength, the best fitting method is selected as the testing method. This paper takes G.657.A1 optical fiber as the research project, By comparing various fitting methods, Taking the best measurement accuracy of the fiber macro-bend loss at 1550nm and 1625nm under the small bending radius as the benchmark, the idea of selecting the fitting method for the measurement of the fiber macro-bend loss under the small bending radius is provided.

 

Keywords: G.657.A1 fibre. Macrobending. Small bending radius. Intrinsic macrobending loss. Excel solver. Weighted least square method

0. 前言

2014年，我和我的同事撰写的论文“Use of weighted least square fitting methods in macrobending loss tests on single-mode fibres”, 在美国罗德岛普罗旺斯举行的63^rd IWCS学术研讨会议上发表。该方法解决了小弯曲半径下光纤宏弯损耗谱图震荡，造成测试结果不准确的问题。在推动该方法纳入IEC标准过程中，国际和国内专家们在认可“加权最小二乘法”的同时，提出了其他拟合方法是如何影响测试结果的问题。本文解答了这个疑问。

新版IEC 60793-1-47 Ed. 4.0 b 2017 Optical fibres - Part 1-47 Measurement methods and test procedures - Macrobending loss （Annex D Small bend radius）的修订是基于本文以及“Use of weighted least square fitting methods in macrobending loss tests on single-mode fibres”论文的提炼。

1. 宏弯损耗曲线震荡形成的原理

当单模光纤用于接入网时，光纤的设计在兼顾使用寿命与损耗要求的前提下，旨在追求尽可能小的弯曲半径。弯曲不敏感光纤的设计要求在小弯曲半径（5至15mm）下光纤的传输性能不受影响。然而，当我们在测试弯曲不敏感光纤在小弯曲半径下的宏弯损耗时，发现宏弯损耗曲线是随波长变化无规律震荡的（如图4）。这是由于在小弯曲半径情况下，传输的光信号从弯曲的纤芯中辐射出去，并在纤芯以外的弯曲界面（例如，芯层-包层界面、包层-涂覆层界面或涂层-空气界面）上发生反射回音壁模式。如果弯曲状态的样本长度不足以抑制辐射模，包层和涂覆层中的辐射模将会干扰传播模，从而导致宏弯损耗曲线随波长变化而震荡。

 

 

图1 光纤结构及其对应结构折射率示意图

由图1光纤在结构上的折射率分布可知，光纤在芯层和外涂层形成全反射的条件，当入射光因光纤弯曲而辐射出去，在内涂层，外涂层发生折射后辐射光进入外涂层，在外涂层形成全反射，同样因为光纤的弯曲，辐射出去的光又不断反射后进入光纤包层和芯层，形成因宏弯引起的损耗震荡现象。图2，图3分别模拟了基模及高阶模光，在辐射出芯包层后，在外涂层形成全反射的传输状况。

 

图2 基模在光纤外涂层形成全反射传输的示意图

 

图3 高阶模在光纤外涂层形成全反射传输的示意图

 

当我们了解了光纤在小弯曲半径情况下产生“回音壁模式”的干扰原理后，就很容易理解在小半径弯曲情况下，宏弯损耗出现的震荡现象，图4是G.657.A1光纤宏弯损耗的实测谱图，在长波长震荡更加明显。

 

图4 G.657.A1光纤宏弯损耗的实测图谱

IEC 60793-1-47 Ed. 4.0 b 2017 Optical fibres - Part 1-47 Measurement methods and test procedures - Macrobending loss “Annex D Small bend radius phenomena”给出了用拟合方法推导出对应波长的宏弯损耗值的建议，并推荐了多种拟合方法，包括：最小二乘法、最小“平均值与中值差”法、最小“均值法”、最小“中值法”、线性后加权最小二乘法等等。但是如何去选用合适的拟合方法，使测试结果更精确呢？

 

2. 新版IEC 60793-1-47 Ed. 4.0 b 2017 Annex D的重要变化

2.1  Ed. 3.0 b旧版本的局限性

2009版IEC 60793-1-47 Ed. 3.0 b附录 D中，关于小弯曲半径下的光纤宏弯损耗曲线的震荡现象进行了描述，并建议以拟合的方法来推导光纤的宏弯损耗测试结果。但存在以下局限性：

1） 推荐了最小中值与均值的差法：

由于该方法在标准中的描述不够精确，容易产生误解和曲解，造成在应用中的困扰。

2） 明确不推荐均方根误差法：

不推荐均方根误差法，将最小二乘法剔除在外，未明示原因，可能和3）未得到有效解决相关。

3） 未明确可以获得接近本征宏弯损耗的方法：

若以测试值为拟合基准，因测试数据的波动性，最佳拟合方法就很难确定。

4） 未明确拟合后的精确度判断方法：

拟合后的测试值与本征值的误差不确定，无法确定最优的拟合方法。

2.2  ED. 4.0 b新版本的变化

针对3.0旧版本的局限性，本次4.0版本修订主要体现在以下方面：

1） 给出了多种不同的拟合方法，并清晰定义：

• 最小二乘法：最小化拟合值和测试值之间的差值的平方和

• 最小平均值与中值差法：最小化拟合值与测试值差值的绝对值的平均值与拟合值与测试值差值的绝对值的中值之差的绝对值。

• 最小均值法：最小化“拟合值与测试值差值的绝对值的平均值”

• 最小中值法：最小化“拟合值与测试值差值的绝对值的中值”

2） 介绍了以Microsoft Excel的Solver工具来实现拟合的方法。

3） 通过变式ln�=��+ln� 可实现线性拟合，并推荐了“加权最小二乘法”的拟合方法。

4） 以浸入高折射率溶液的宏弯测试结果为本征宏弯衰减参考基准，使拟合推导值更精确。

5） 给出了选定多种拟合方式最优的评定方法，以特定波长与参考基准的精确度为评判拟合方法的依据。

6） 指出测试波长点数选取需考虑滤除高阶模的因素，测试点越多准确性越高。

 

3. 宏弯损耗本征值的获取方法

3.1  浸入高折射率溶液

由本文第一章节所述，我们已经了解了宏弯损耗曲线震荡产生的原因，消除震荡的方法可以通过将光纤浸入高折射率溶液中测试，比如食品添加剂肉桂酸乙酯Ethyl Cinnamate，其折射率为1.558。如图5所示，光纤浸入高折射率溶液后，在外涂层形成的全反射条件遭到破坏，由芯层和包层辐射出来的光强被溶液吸收，光纤的宏弯损耗因“回音壁模式”消失，从而使宏弯损耗得到准确的波长相关结果。

 

 

 

图5光纤浸入高折射率后的结构折射率示意图

 

3.2 空气中与浸入高折射率溶液中测试结果比较

 

图6，图7为同一根G.657.A1光纤连续取样10次，在弯曲半径为10mm，弯曲1圈的条件下测试的宏弯损耗曲线。

同一根G.657.A1光纤连续取样，理论上宏弯损耗的结果应该相同，图6所示的在空气中的测试结果波动非常大，在1550nm和1625nm要求的测试波长点，单次测试无法得到稳定的宏弯损耗结果。

而当将同样的光纤浸入高折射率溶液测试时，我们得到几乎一致的结果，宏弯损耗曲线平滑，干扰现象得到充分的抑制。继续加大样本的测试数量，同一根G.657.A1光纤连续取样30次，在弯曲半径为10mm，1圈条件下，分别在空气中和高折射率溶液中进行测试，1625nm波长的测试结果如表1所示。

 

 

 

图6 在正常空气环境中的测试图谱

 

 

图7 浸入高折射率溶液的测试图谱

 

 

1.4 

表1 在正常空气环境和高折射率溶液中的测试结果比较

 

空气中的测试均值（µ）较高折射率溶液均值略偏大，但相差不多，空气中的标准偏差（σ）大反映测试结果的离散性非常高。而高折射率溶液中的测试结果的重复性，可靠性令人满意。

 

4. 多种拟合方法的比较

4.1  指数拟合

光纤的宏弯损耗以下列公式表示：

(1)

 

式中： 表示光纤的宏弯损耗，单位分贝（dB）。

， 是由光纤设计决定系数。

    由式1可见，宏弯损耗是和波长相关的指数函数，可以此指数函数为基础对测试数据进行指数拟合，从而推导出特定波长的宏弯损耗值。

可以利用规划求解器（Excel Solver）为工具，用以下定义的方法进行拟合：

1） 最小二乘法：最小化测量值和拟合值之间的差值的平方和

2） 最小平均值与中值差法：最小化“拟合值与测试值差的绝对值的平均值与拟合值与测试值差的绝对值的中值”之差的绝对值。

3） 最小均值法：最小化“拟合值与测试值差的绝对值的平均值”

4） 最小中值法：最小化“拟合值与测试值差的绝对值的中值”

但利用规划求解进行指数拟合存在其不方便实施的缺点：非实时拟合、规划求解的过程相对复杂、初始值由人为设定且影响最终结果。

 

4.2  线性拟合

4.2.1 线性最小二乘法

对公式(1)取对自然数后，可得到线性公式(2)，由此可以实现线性拟合：

(2)

最小化实测与拟合值的平方差的和：

= (3)

分别对平方差的和对 和求偏导，使其为0：

0 (4)

0 (5)

得到A和的结果：

(6)

(7)

将式(6)和(7)得到的A和α系数结果代入式(1)中，即为拟合得到的宏弯损耗曲线公式，可实时推导出任意波长的宏弯损耗结果。

当然，取自然对数后的线性拟合非常方便计算及在生产中快速应用，但仍存在弊端，因自然对数赋予低波长（小宏弯损耗数值）更高的权重，而通常关注的高波长（1550nm及1625nm）因其偏大的宏弯损耗，权重反而较小，高波长拟合相关性降低。为弥补这种缺陷，可通过加权最小二乘法赋予高波长更高的权重来纠正。

1.5 

4.2.1 

4.2.2 加权最小二乘法

以下通过几种不同权重的示例，来介绍加权的最小二乘法在拟合光纤宏弯损耗中的应用：

l 权重γ 最小二乘法：最小化 )²

l 权重 最小二乘法：最小化 ) ²

l 权重 最小二乘法 ： 最小化 ) ²

与最小二乘法解析过程类似，对上述公式的 lnA和分别求偏导，使其为0，可解析出A和的值。同样，可实时推导出任意波长的宏弯损耗结果。

4.3  拟合方法的比较

4.3.1 多种拟合方法的谱图

图8为G.657.A1光纤样本在10mm弯曲半径1圈情况下，在空气中浸入高折射率溶液中的测试数据，和将空气中测试的结果通过不同拟合方法得到的拟合数据。

图8中可以看到，不同的拟合方法，得到的结果存在一定的差异。需要用合适的方法评定最优拟合方法。

为了避免单次测试的结果影响评价结果，将上述3.2章节描述的同一根G.657.A1光纤连续取样30次，分别在空气中和浸入高折射率的溶液中进行测试。再对30次空气中的测试结果分别用多种方法进行拟合，分别将拟合结果进行稳定性、与浸入高折射率的溶液中的本征值进行相关性和精确度的比较。

图8 多种拟合方法的拟合图谱

空气环境中的测试结果 --- In air      浸入高折射率的测试结果 --- In EC

最小二乘法（指数拟合）--- XL LS      最小平均值与中值差法 --- XL M-M

最小中值法--- XL Median               最小二乘法（线性解析拟合）--- LS analytic

权重为γ的最小二乘法 --- WLS（γ）  权重为γ²的最小二乘法--- WLS（γ²）

权重为的最小二乘法 --- WLS（）

 

4.3.2 相关性水平

以30次浸入高折射率的溶液测试结果的平均值作为本征参考，将选定的7种拟合方法得到的拟合结果的平均值与本征值进行相关性比较。以皮尔森系数ρ或者R² 来进行优劣比较。

表2可见，以上七种方法，相关性都非常高，皮尔森系数全部达到0.99以上。且相差不大，很难通过相关性系数评定这些拟合方法的优劣。

 

 

 

 

 

 

 

表2 多种测试方法与本征宏弯损耗的相关性比较

 

 

4.3.3 拟合数据稳定性σ/µ

在表1中，我们引入了平均值µ和标准方差σ的概念。以此概念为依据，同样将以上30次测试样品的结果的σ/µ进行比较，如图9所示，代表测试结果值的离散性，以此来判定测试结果的重复性及稳定性。

以表3数据结果，以1550nm和1625nm的稳定性最佳为排序，“权重γ 最小二乘法”稳定性最佳。“最小中值法”稳定性最差。

此方法可排除稳定性相对较差的几种方法，但其余方法拟合稳定性相差不大，不能直接作为最优方法的评定方法，可作为参考。

 

 

表3 多种拟合方法测试结果的稳定性

 

4.3.4 拟合数据精确度 

在测试光纤的宏弯损耗时，我们最为关注的是测试的精确度；拟合数据的结果越接近本征值，代表测试精确度越高，也是我们测试希望达到的结果。尤其是我们最为关注的波长为1550nm和1625nm的宏弯数据精确度。

在本文中我们可以定义精确度为：

100%

    1550nm和1625nm的综合精确度可以定义为：两个波长的精确度的绝对值的算术平均值。

表4是同样的30个G.657.A1光纤样品测试数据，在不同拟合方法时的精确度比较， 以1550nm和1625nm的综合精确度比较来看，结果为：

以加“权重为γ²的最小二乘法”测试精度最高，排名第一；其拟合精度达到1.3%；“指数曲线的最小二乘法”排名第二，精确度3.1%。“权重γ 最小二乘法”排名第三，精确度为3.6%；“最小二乘法（线性解析拟合）”排名第四，精确度为4.3%。“最小中值法”排名最后，精确度只有10.5%。

 

显而易见，不同的拟合方法选择对测试结果影响很大。

因1550nm和1625nm的宏弯数据是我们最关心的结果，精确度评定方法可明显区分不同拟合方法的结果差异，可作为最终最优拟合方法的评定依据。

 

 

表4 多种拟合方法测试结果的精确度

 

5. 总结

• 测试小弯曲半径下光纤的宏弯损耗时，为了消除“回音壁”而产生的宏弯损耗震荡现象，便于得到更可靠的宏弯测试结果，应该对测试数据进行拟合。

• 为方便计算，可对宏弯损耗的理论公式，取对数后的线性公式进行加权最小二乘法拟合。可以实时获得精确的测试结果，非常方便生产企业实践应用。

• 可以将光纤浸入高折射率匹配溶液中，获得的宏弯损耗测试曲线作为宏弯损耗本征值的参考，以选择适宜的拟合方法。

• 最优拟合方法选择时，可以以指定波长下，如1550nm和1625nm，宏弯损耗测试精确度为评定依据。

• 测试波长范围应不引入高阶模，范围内点数越多越好，感兴趣的读者可自行比较研究。

• 不同厂家的不同种光纤选用的最优拟合方法可能不一致，可以参考本文4.3.4进行拟合方法评定。

6. 感谢

感谢我的同事Mr. Onno Bresser和段琳琳女士在本文撰写过程中给予的支持。

7. 参考文献

[1] IEC 60793-1-47 Ed. 3.0 b 2009 Optical fibres - Part 1-47 Measurement methods and test procedures - Macrobending loss

[2] IEC 60793-1-47 Ed. 4.0 b 2017 Optical fibres - Part 1-47 Measurement methods and test procedures - Macrobending loss

[3] Siping Ning, Onno R. Bresser, Linlin Duan, Youxiang E, Bin Wang, Use of weighted least square fitting methods in macrobending loss tests on single-mode fibres, Proceedings of the 63^rd IWCS Conference (2014), 92-96

[4] A.B. Sharma, A.-H. Al-Ani, and S.J. Halme “Constant-curvature loss in monomode fibres: an experimental investigation” Appl. Opt., Vol. 23, pp. 3297-3301, 1984.

[5] D. Fylstra, L. Lasdon, J. Watson, A. Waren, “Design and Use of the Microsoft Excel Solver”, Interfaces, Vol. 28, No. 5, Sept-Oct 1998, pp. 29-55

[6] Weisstein, Eric W. "Least Squares Fitting." From MathWorld—A Wolfram Web resource. http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html