概率论实验课程的实践几点思考

        夏业茂

           （南京林业大学理学院，江苏，南京  210037）

 摘要： 概率论是一门基础性数学理论课程,其内容具有高度的概括性和抽象性；而概率论的研究对象却与现实生活紧密关联.本文就如何在概率论的课堂教学中试验课程实践提供几点建议.

 关键词：概率论课堂教学，培养兴趣，创新思维，发散性思维。

 图书分类号：O424.31   文献标示码：A      文章编号：

    概率论作为一门基础性数学理论学科, 主要以现实世界中不确定的随机现象为研究对象，力求通过数学方式来揭示现实世界中混沌的、不确定的随机现象所蕴含的内在、固有的规律和机制，并为人类的生产和实践活动作出指导. 尽管概率论研究对象是现实世界中不确定现象，具有很强的指向性和目的性，但概率论课程需要讲授和学习的内容却是对现实生活中的现象模型化和总结，具有高度的概括性和抽象性。而课堂教学更多的是强调该门课程的数学纯基础理论的讲解和训练。但传统的板书式讲演、倾向于理论讲授的教学法忽略了学生兴趣与能力的培养，会使得学生很难从本质上把握概率的相关理论。特别地，会造成理论与实际脱节，这对概率论内容的理解和把握十分不利。随着我国教育事业的蓬勃发展，特别是我国高等教育的在人才培养阶段中所处的特殊位置，这对本科阶段的概率论课程的教学改革逐渐被提上日程。 一般地来说, 提高大学生的实践动手能力与创新能力是当代教育改革的重点，也是提高国家科技创新的重要基础。数学实验，就是利用计算机等作为实验工具，将数学基本理论运用到实际生活中的重要基础课程，对于培养学生的编程能力，提高数学建模水平起着至关重要的作用，也是现在众多高校重点建设的一门数学应用基础课程。另外，随着科学技术的快速发展，特别是日新月异的计算机技术及其网络技术,极大地促进了人们对海量信息、大数据研究的兴趣。呈现在人类面前的世界是如此的丰富和多彩。这对概率论的学习和应用提出了更高的要求,也为其提供了更为宽广的应用舞台.

     概率论课程的实验课程指利用计算机、数学软件手段、专题研讨、数学建模等一种教学方式, 区别于我国数学教育长期以来仅仅侧重于“计算数学”和“证明数学”的教学模式。它是在教师的指导下,学生利用学到的数学理论知识,强化数学理论和数学思维,提高分析和解决实际问题的一种带有较强实践意义的教学活动，与实际问题、新问题紧紧联系在一起。而课堂教学是以教材为蓝本，是对一般性原理进行讲解.一般性原理是对现实生活的现象进行高度概括、抽象并模型化。那么，如何将抽象、概括的东西还原到具体实践并指导实践，如何丰富课堂教学活动，改变传统的教学方式和手段，积极寻找创新思维培养的切入点，构成了近年来概率论实验教学活动研究的一个重要内容。近年来，很多学者和同仁们对此给予相当重视，提供了很多有价值的建议和意见。例如，曾德强[1]在《在概率统计中引入数学实验的教学探讨》一文中对概率论与数理统计教学的现状和不足进行了分析, 并结合具体实例,从三个方面阐述了数学实验在概率统计课程教学中的功能及其相应的措施; 胡妍[2]就概率统计中实验课程具体设置谈了一些构想；肖海军[3]提出在遵循教学计划的前提下,阐述了概率论课程的教学应强调应用性.任维义[4]]对本科阶段的概率论的试验课程设置做了深入的探讨; 程松林, 任利伟[5].通过试验示例的模拟分析和建模仿真探究了随机试验在概率论课堂教学中的重要作用，为相关理论教学对激发学生自主学习的兴趣方面提供借鉴，实现实验教学中计算机随机方法的应用与拓展。曲峰林, 张青[6]强调 Excel在概率论课程教学中的应用。这些为未来的概率论（包括后续课程《数理统计》）的教学活动提供了有价值的参考和建议。由于笔者是在农林类院校从事《概率论》的教学活动，农林类院校与综合性或师范性大学的《概率论》教学目标和要求不同，学生基础知识掌握程度也参差不齐。本文就实际教学活动中对实验课堂教学认识谈谈几点体会。

一、 实验课程有助于概率论的概念和数学公式的深刻理解、提高课堂效率

     概率论课程与其他数学课程类似，知识、理论体系的建立都依赖于大量的定义和概念。如果将理论体系看做是一座大厦，那么毫无疑问地，定义和概念是大厦的基础和基石。只有准确把握和理解有关概念，才能对理论体系有着深刻的认识和体会；而知识的融会贯通和灵活应用也强烈地依赖着对概念的准确把握和理解。概念模糊、似懂非懂，必然会造成在应用上出现失之毫米谬之千里的现象。在概率论教学活动中，通过教学软件，设计一些巧妙的试验，可以帮助学生对有关概念产生直观的认识，培养直觉思维，再通过启发、归纳、总结，加深体会。在本科阶段《概率论》来说，著名的高尔顿板试验就是一个很生动的例子。该试验通过小球在下落过程受到一系列碰撞后落点的变化，向学生生动地解释了随机变量（小球不确定的落点）、稳定性（大量重复试验小球落点位置呈现出的的规律性）、正态分布（大量重复试验小球落点的位置规律的具体描述）、中心极限定理（大量重复试验中的小球落点的中心位置刻画）等基本概念，做到直观形象而富于趣味。这也加强了学生对课堂的的专注度、提高了课堂的教学效率。一个精心设计、看似简单的的试验，所包含的内容可以说涵盖了概率论基本内容。 再比如， 在讲授时间序列时，考虑如下两个序列

          M1: x(1)=2; x(t) = 2.0 * x(t-1) + N(0,1),(t=2,...,100);

          M2: x(1)=2; x(t) = 0.5 * x(t-1) + N(0,1),(t=2,...,100);

让学生通过MATLAB软件来画出它们的实现值，并观察两个序列的变化特点，比较异同、找出原因。这个简单试验可以帮助学生深刻理解平稳和非平稳的概念，同时也向学生展示了为什么概率论中会对平稳性序列有那么多丰富而深刻的理论成果。通过不同的

 二、 课程实验可以激发兴趣，有助于学生的创新能力的培养

  爱因斯坦说过“兴趣是最好的老师”。兴趣是什么？就是对问题的持续关注和不懈的努力和探索；兴趣就是毅力，是创造的源源不断的动力。历史上，许多重大的突破、发明和发现不是灵光乍现、突发奇想的结果，是一代人甚至是几代人持续关注的结果。这中间当然是兴趣使然。什么是创新？简单说，就是对一个问题的新观点、新看法、新解答，而不是过时的、现有的、低效的。这种带有未知性的活动当然需要浓厚的兴趣去研究它。我们现阶段的战略目标为创新驱动型发展，这对我们的教育目标和教学活动提出了更高的要求。不仅仅要教授学生继承接纳已有的知识，更注重的是在培养它们今后实践活动中的创新和创造能力。在概率论的教学活动中，我们要养成以培养学生兴趣为目标的教学习惯。培养学生提出问题、发现问题的兴趣，培养他们提出不同方案的兴趣。而试验课程以其独特新颖的授课方式，紧密地联系实际， 可以抓住青年学生“趋新”“趋奇”的心理特点，提高课堂气氛，调动学生的积极性， 从平凡的现象中发掘不平凡的规律。 当然，不要一提到试验课就是“数学软件ABC，机器零件堆满屋”； 概率论包括其他数学学科的试验课不是手工课。一堂指向明确的专题课同样地可以有异曲同工的效果。例如，《概率论》有一章节为贝努里重复试验，其假设条件为：（1）每次试验是独立的，（2）每次试验前，某个随机事件发生的概率是不变的，(3）每次试验可能结果有且仅有两种可能结果。在这三个基本条件下，n次独立重复试验中该事件发生的次数的概率规律即发生多少次，哪些情况机会大，哪些情况机会小就完全清楚了，这就是著名的二项分布规律。但在现实生活中，这些条件一般都很难全部成立。考察一年365天中下雨的天数问题时，由于受到各种影响因素的影响，每天下雨或不下雨是个随机现象. 将考察每天下雨情况看作一次试验，上述的三个条件符合不符合？ 为什么不符合? 原因是什么？如何做到符合或近似符合呢？ 还能通过对身边哪些现象的观测来“推翻”书上既定的结论？ 通过这些问题的提出，不仅帮助学生深刻掌握课本知识, 同时，也加强对新鲜事物的探讨。如此举一反三, 不断强化学生挑战书本、挑战传统的能力，激发他们对新问题、新方法的浓厚兴趣。

三、 课程实验培养学生联系实际解决实际问题的能力

     概率论研究的内容决定了其必然与实际相联系。概率论是以随机现象为研究对象，而随机现象是在一定的观测或活动中出现的。这就决定了概率论具有很广大的应用空间。在保险、精算、博弈、统计等领域都应用十分广泛。现实是新鲜活泼的，而学生阶段的思维是积极活跃的，结合具体的实际问题，鼓励学生多参与 加强课堂教学与实际的联系，不仅有助于掌握书本上的知识，而且能够做到活学活用。这也助创新思维的培养与训练。当前各种教学方法如数学建模法，数学实验课法都已经渗透到概率论的课堂教学活动中去。这都极大地促进了教学活动的发展。

四、数学试验有助于注重直观思维的培养

数学是以严格的逻辑推理为基础。具有一定的逻辑思维是学好数学的前提。 而直觉是根据某些已知的事实和知识对研究问题提出的合理的猜测和突然领悟的思维活动[2].直觉思维活动往往不受逻辑的限制,具有一定的突破性和爆发性,是创造性思维或创新不可缺少的组成部分. 概率论是一门数学分支，当然讲究严格的逻辑基础，但直觉思维的培养对于创新思维的发展具有重要的作用。比如说概率论随机变量函数一节探究t分布问题时，一个服从标准正态的随机变量和一个与之相独立的卡方分布的方根相关联的比值服从t分布。那么这时候一个很自然的想法是知道t分布的密度函数是什么形状？ 根据正态随机变量的性质可知，一个标准正态随机变量除以一个正常数（重新尺度化），那么其结果还是正态随机变量，且其均值不变，改变的是方差。那么现在除以一个正的随机变量，其取值规律可能出现什么变化?  中心位置变化吗？对称性会变化吗？方差变化的幅度会如何？ 由此大致了解t-密度的函数特性。由此类推，可以延伸到F分布以及其他类型的比值随机变量上。当然，最终的结论需要严格的数学论证，但直觉思维有助于论证的方向性。不过，直觉在某种程度上具有一定的盲目性。避免这种盲目性就是需要对问题有一定的的认识和掌握，而不是盲目随从。

   中国科学院院士,首届国家科学技术奖获得者吴文俊先生在数学课程内容改革研讨会上《数学教育不能从培养数学家的要求出发》指出:“任何数学都要讲逻辑推理,但这只是问题的一个方面,更重要的是用数学去解决问题,解决日常生活中、其他科学中出现的数学问题。学校给的题目都是有答案的,已知什么,求证什么,都是很清楚的,题目也一定是做得出来的。但是将来到了社会上,所面对的问题大多是预先不知道答案的,甚至不知道是否会有答案。这就要求培养学生的创造能力,学会处理各种实际数学问题的方法。”即是说，数学教育不能只强调培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力,还应该强调“用数学”的能力。概率论作为数学一门从实践中来回归到实践中去的学科,在教学中培养学生应用概率的基础知识解决实际问题的能力显得尤为重要。 在概率论课程教学中引入数学实验，不仅有助于提高课堂效率，而且可以培养学生动手和解决新问题的能力，有助于理论联系实际，培养创新思维。

感谢： 本文得到南京林业大学“《概率论》课程的创新思维培养的实践”项目资助，在此表示感谢。

参考文献

[1]  曾德强， 在概率统计中引入数学实验的教学探讨[J], 保山师专学报，2009, 28(5),27-30.

[2]  胡妍. 在概率论与数理统计教学中开设数学实验课的构想[J]. 科学技术创新, 2010(22):136-136.

[3] 肖海军. 概率论课程中的应用性教学[J]. 中南民族大学学报(自然科学版)[J], 2001, 20(s1):92-94. 

[4] 任维义. 本科概率论试验课程设计初探[D]. 西南大学, 2006. 

[5] 程松林, 任利伟. 浅析随机模拟实验在概率论教学中的作用[J]. 科学时代, 2014(21):433-435.

[6] 曲峰林, 张青. Excel在概率论课程教学中的应用[J]. 高等继续教育学报, 2011(6):39-40.