将数学建模思想渗透到数学教学中的几点做法

于莉琦

（黑龙江省 哈尔滨市 黑龙江东方学院）

于莉琦：女（1983-），硕士，副教授，黑龙江东方学院基础部，从事微分方程稳定性研究

摘要：数学建模思维、建模能力的培养是一个长期的逐渐渗透的过程，通过案例教学，数学实验，数学竞赛等方式促进建模思想的形成。

关键词：案例教学；数学试验；数学竞赛

基金项目：黑龙江省高等教育教学改革项目（SJGY20170311）

数学建模是一种用数学的思维思考问题，用数学的语言描绘问题，用数学的方法解决问题的一种有效方法，在当今高等教育中的作用和地位越来越突出，是训练逻辑性思维和开放式思维的有效途径，是培养创新意识的重要手段。数学建模虽然最早兴起于西方国家，但经过20多年的发展，已经在我国得到了长远的发展。目前如何将建模思想渗透到日常教学工作中是一个亟待解决的问题。下面是几点具体的想法。

一、 开设建模选修课无法从根本上解决建模思想的培养

数学建模的重要性已经得到了人们的普遍认识，通过建模思维的训练，同学们不仅能够更好地理解所学的知识理论，更重要的是建立了应用所学知识分析问题、解决问题的意识，这无疑将更大的鼓舞学生学习的信心，有利于学生综合能力的长久发展，因此，很多学校都开设了数学建模选修课，希望通过这种形式的课程将建模思想教会给学生，事实证明效果不明显，只是通过一些学时的具体演练是无法将建模思想融入学生的思维中，数学建模需要基本的数学知识，同时需要采集信息，处理信息的能力，需要应用各种软件计算复杂问题的能力，这些能力不是开设一门课程就能培养起来的，它需要一个相对长时间的积累耦合，逐步形成应用数学的思维习惯。建模选修课受到授课学时和人数的限制，无法从根本上解决建模能力的培养问题。

二、 培养建模能力的几点看法

1） 以案例教学形式还原知识的产生过程

任何一门数学知识的产生都是源于生产实践，如导数是在研究变化率的过程中产生的，积分是在研究积累问题时产生的，级数是在研究复杂函数计算的过程中产生的，概率是在研究随机现象的过程中产生的等等，数学发生的过程都伴随者生动鲜活的背景，所以它不应该是枯燥的，过于抽象的。我们现在的教学经常是在呈现数学理论的严密推演，而忽略了生动活泼的历史背景，致使很多学生对数学的印象就是难，不易理解，觉得没有用。所以培养学生建模思想的一个主要关键是还原知识产生过程，让学生知道数学知识是怎么来的。

知识的产生是多方面的，可以根据需求以案例教学的方式还原知识产生的过程，而不局限于知识最初的引入方式。例如，曲率是一个非常重要的概念，在机械制造等很多方面都会涉及到曲率的应用，通过下面形式的介绍，给学生留下了深刻的印象。

一、问题的引入  

已知机床生产某种机件，其截面是抛物型的，现用铣刀进行抛光打磨，选择哪种型号的铣刀合适。

      图一 常用铣刀                                  图二 打磨截面图

显然铣刀的选择决定于曲线的弯曲程度，确切的说决定于曲线上弯曲程度最大的点。如何描述曲线的弯曲程度，弯曲程度与哪些因素有关，继续下面的讨论。

二、 问题的分析解决

  1、弯曲程度与那些因素有关

   平面中任意光滑曲线，经过两点，如图3设曲线弧的长度为，过点分别作切线，记切线的转角为，可见，越大，曲线的弯曲程度越大，的大小受到了的影响，故曲线弧的弯曲程度受到两个量的影响，分别为弧长和 切线的转角.                                                 图3

2、弯曲程度与弧长和切线转角的关系                          

用表示曲线弧的弯曲程度，与，的关系如何？

如图4所示，已知曲线弧的弧长为，切线转角为，弯曲程度记为，曲线弧 的弧长为，切线转角为，假设. 如图所示，，曲线弧比曲线弧弯曲得厉害，即，即弯曲程度 与切线转角成正比。

    曲线弧弧长为，曲线的弯曲程度记为，曲线弧 弧长为，曲线的弯曲程度记为，如图5，显然两曲线弧对应切线的转

角相同，而，                                       图4

曲线弧比曲线弧弯曲的厉害，即，由此可见，曲线的弯曲程度与曲线的弧长成反比，即弯曲程度 与弧长成反比。

   综上所述，我们引入数量来描述一条曲线弧的弯曲程度，称之为平均曲率.                            图5

=也就是单位长度上切线转角的大小.

在具体问题中，我们不仅需要知道一段弧的平均弯曲程度，更多时候我们需要知道曲线上一点处的弯曲程度.导数概念引入时，我们利用极限由平均速度得到了瞬时速度的方法，令点点沿着曲线向点移动，即，曲线弧的平均曲率的极限称为点处的曲率，记为，即.

三、典型例题

例  证明圆弧上各点处的曲率相等.

证明：如图6，设圆的

半径为，在圆上任取两

点，过两点做切线，

设圆弧的长度为，                                 图6

切线转角为，则有几何知识得， ，则，即，，从而有

即圆上任一点处曲率相等，等于半径的倒数，这与实际情况相吻合，圆上每一点的弯曲程度相同，且圆的半径越小，弯曲程度越大，进一步说明了用曲率来描述曲线的弯曲程度是合理的。

四、问题的解决

     打磨抛光抛物型机件时，选择哪种型号的铣刀取决于抛物线上弯曲程度最大的点，显

然顶点处的弯曲程度最大，若处的曲率为，由上面例题的结论，我们可以选择半径的铣刀，可以保证打磨充分。

 五、问题引申

思考：点处的曲率该如何计算呢，用定义计算十分复杂，注意要曲率是转角对弧长的导数，即，可以应用导数来给出一个计算曲率的一般方法。

通过还原知识产生过程让学生理解并接受所学理论。

2） 开设数学实验课程

数学建模的实施过程离不开计算机软件的应用，对于常用软件和计算机处理技术学生日常学习中接触很少，开设数学实验课程，传授基本数学软件包的使用是必要的，如Spss, Lingo, Maple, Mathematica, Matlab等等。通过数学试验教学学生解决复杂数学计算的方法，提高学生利用计算机和科技技术成果的能力。

3） 参加建模竞赛，多方交流学习

数学建模需要学生掌握很多数学方面的知识，如统计学，最优化，神经网络，计算方法，模糊数学等等，除此之外还有一些专业的知识需要学生自己去采集，处理，这些处理信息数据的方法是多样的，作为交流和学习的平台，建模竞赛是一个最好的选择，通过竞赛不仅可以收获优质信息，更重要的是可以和优秀的思想接触，更好的提升自己的水平。

参考文献：

[1] 许仙云，杨永清.突出数学建模思想 培养学生创新能力[J]. 大学数学，2007,23（4），136-140.

[2] 徐茂良. 在传统数学教学中渗透数学建模思想[J]. 数学的实践与认识,2002,32(4):702-704.

[3]如何在大学数学课程教学中培养学生创新思维[J].大学数学，2003，19（3）：30-32.